Equivalencia de $NS$ trivial paquete normal

Question

Estoy tratando de probar la siguiente afirmación:

Supongamos que S es un correctamente embbeded submanifold de $\mathbb R^n$ de codimension $k$. Demostrar que los siguientes son equivalentes:

1. Existe un entorno $U$ $S$ $\mathbb R ^n$ y una función suave $\Phi: U \rightarrow \mathbb R^k$ tal que $S$ es regular ajuste del nivel de $\Phi$.
2. La normal bundle $NS$ es un trivial vector paquete

Este es un ejercicio del libro Introducción a la Suave Colectores - Juan M. Lee y no tengo ni idea de cómo empezar a probar esto.

Answer 1

Estamos en $\mathbb{R}^n$ todo el camino, por lo que los cálculos son más concretas.

Para ver por qué se $(1) \implies (2)$, podemos utilizar el hecho de que tenemos una muy explícito derivado de $\Phi$:

$$\Phi'_p=\begin{pmatrix} \nabla \Phi_1 \\ \nabla\Phi_2 \\ \cdots \\ \nabla \Phi_k \end{pmatrix}. $$

Ya que estamos suponiendo $S$ es un nivel regular de conjunto, tenemos que los $\nabla \Phi_i$ todos son linealmente independientes a lo largo de $S$. Asimismo, todos son normales a $S$, ya que el $\Phi$ es constante. Esto le da un global de elaboración de la normal en paquete.

Para ver por qué se $(2) \implies (1)$, sólo tiene que utilizar el hecho de que por supuesto existe una diffeomorphism $\Psi: NS \to S \times \mathbb{R}^k$, y considerar la posibilidad de $\Phi:=\pi_2 \circ \Psi \circ T,$ donde $T: U \to V \subset NS $ es un diffeomorphism de un barrio de $S$ en un barrio de la sección cero en la normal de paquete (diffeomorphism está dada por el tubular barrio teorema).

Answer 2

$1\Rightarrow 2:$ Desde $S$ es un conjunto de nivel de una sola función, que significa que tiene codimension $1.$ Ya que es un conjunto de nivel de la función $\Phi,$ esto quiere decir $d\Phi$ es un diferencial de forma que se desvanece en todos los vectores de tangentes a $S$, y no se ha extinguido por cualquier vectores no tangente a $S$. El uso de un producto interior, que puede dar vuelta a $d\Phi$ a un campo de vectores, en ningún lugar de fuga, y normal, a lo largo de $S$. Por lo tanto el rango normal uno bundle es trivial.

$2\Rightarrow 1:$ Tomar una sección global $v$$NS$. Definir $\Phi(p,t) = \exp(tv_p)$.