¿Encontrar el producto de la serie?

Question

¿Alguien puede ayudarme a evaluar el siguiente producto?

PS

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \ frac {n ^ 3-1} {n ^ 3 +1} = \ frac {(n-1) (n ^ 2 + n +1)} {(n +1) (n ^ 2- n +1)} = \ frac {(n-1)} {(n +1)} \ cdot \ frac {\ big ((n +1) ^ 2- (n +1) +1 \ big)} { (n ^ 2-n +1)}. $$ Tenemos $$ \ prod_ {n = 2} ^ N \ frac {n-1} {n +1} = \ frac {1 \ cdot 2 \ cdots (N-2) (N-1)} {3 \ cdot 4 \ cdots N (N +1)} = \ frac {1 \ cdot 2} {N (N +1)}, $$ while \begin{align} \prod_{n=2}^N\frac{n^2+n+1}{n^2-n+1}&=\prod_{n=2}^N\frac{\big((n+1)^2-(n+1)+1\big)}{(n^2-n+1)}\\&=\frac{\big((N+1)^2-(N+1)+1\big)}{2^2-2+1}=\frac{N^2+N+1}{3}, \end {align} y por lo tanto $$ \ prod_ {n = 2} ^ N \ frac {n ^ 3-1} {n ^ 3 +1} = \ frac {1 \ cdot 2 \ cdot (N ^ 2 + N +1)} {3 \ cdot N (N +1) } \ to \ frac {2} {3}, $$ como$N\to \infty$.

Answer 2

Observe$$\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{(n-1)(n^2+n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)}$$ and $ (n +1) ^ 2- (n +1) +1 = n ^ 2 + n +1 $. Por eso tenemos un producto telescópico.

PS

Si está nervioso por hacer una cancelación como esta en un producto infinito (¡que es un punto válido!), Hágalo con cuidado para los productos parciales y termine con el mismo.