Si un ideal $I$ contiene un sin-cero-divisor entonces $\mathrm{End}_R(I)$ es conmutativa

Question

¿Cómo puedo demostrar si $I$ es un ideal de un anillo comutativo $R$ que contiene un sin-cero-divisor $\mathrm{End}_R(I)$ es conmutativa?

Answer 1

Sea no-zerodivisor $x$.

Primero reclamamos $End_R(xR)$ es conmutativa. Claramente cada $f,g\in End_R(xR)$ está determinada por su imagen de $x$. Así, dicen, que $f(x)=xr$ y $g(x)=xs$. Entonces $f(g(xt))=xtsr=xtrs=g(f(xt))$ y así $fg=gf$ % todos $f,g\in End_R(xR)$.

Ahora Supongamos, $F,G\in End_R(I)$. Si $FG\neq GF$, existe un $z$ tal que $FG(z)-GF(z)\neq 0$. Multiplicando a la derecha con $x$, $FG(zx)-GF(zx)\neq 0$. Sin embargo, esto es imposible desde $F$ y $G$ debe conmutar cuando $xR$!

Así, $End_R(I)$ es conmutativa.