$y^2 = x^3 - 26$, existen ideal que cumpla con las condiciones?

Question

Para la solución de $(x, y) = (3, 1)$$y^2 = x^3 - 26$,

no necesariamente existe un ideal de a $I$ del entero anillo de $\mathbb{Z}[\sqrt{-26}]$ $\mathbb{Q}(\sqrt{-26})$ tal que $(y + \sqrt{-26}) = (1 + \sqrt{-26})$ es igual a $I^3$ pero esto $I$ no es principal?

Answer 1

Deje $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-26})$, e $\sigma$ su no-trivial automorphism. Tenemos ${\cal O}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{-26}].$

Si $I^3 = (1+\sqrt{-26})$, luego $$N_{K/\mathbb{Q}}(I)^3=(I I^\sigma)^3 = I^3 (I^\sigma)^3 = (1+\sqrt{-26})(1-\sqrt{-26})=(27)=(3)^3.$$ A continuación,$I I^\sigma=N_{K/\mathbb{Q}}(I)=(3)$. Desde $3$ es primo, $I$ (e $I^\sigma$) debe ser el primer ideales.

Entonces usted se está preguntando si 3 divide en $K$, y si es así, si el primer ideal dividiendo $3$ es no-principal. La respuesta es sí, y $$I = (3,1+\sqrt{-26}).$$

No es difícil ver que $II^\sigma \subset (3)$, e $(3)\subset II^\sigma$ sigue de

$$ 3 = 3^2-3(1+\sqrt{-26})-3(1-\sqrt{-26}).$$

A continuación, $3=II^\sigma$ y $I$, $I^\sigma$ son los principales ideales. También se $I\neq I^\sigma$ desde $3$ no divide $26$.

El primer descomposición de $(1+\sqrt{-26})(1-\sqrt{-26})=(27)$$I^3 (I^\sigma)^3$, por lo que los posibles factores primos de a$(1+\sqrt{-26})$$I$$I^\sigma$. Desde $II^\sigma = (3)$ $(3)$ no divide $(1+\sqrt{-26})$, $(1+\sqrt{-26})=I^3$ o $(I^\sigma)^3$. Desde $1+\sqrt{-26}\in I$, $I$ ya divide $(1+\sqrt{-26})$, lo $(1+\sqrt{-26})=I^3$.