Subgrupos del Grupo Klein-4

Question

¿Puede alguien explicarme los subgrupos del grupo Klein-4? Estoy tratando de verlo de esta manera:

Quiero algunos grupos que no estén vacíos y $ab^{-1} \in H$ , donde $H$ denota los subgrupos que estoy buscando.

Así que el grupo Klein-4 es el siguiente: $V_4 = \langle a,b : a^2 = b^2 = (ab)^2 = 1\rangle $ . Estoy un poco confundido por la $\langle $ y $\rangle $ para denotar un grupo cíclico, pero sigo más o menos lo que está pasando.

Supongo que el grupo en sí y el subgrupo trivial están ahí... Pero, ¿me puedes explicar cómo encontrar el resto?

Posible respuesta:

Subgrupos triviales $ \{\ e \}\ $ tiene la orden 1. Orden 2: $\{\ e,a \}\ , \{\ e,b \}\ , \{\ e,ab \}\ $ Orden 4: El propio grupo. Como el orden de los subgrupos debe dividir el orden del grupo, estos deben ser todos los subgrupos.

Answer 1

Pistas:

Teorema de Lagrange dice que los únicos tamaños posibles de subgrupos y órdenes de elementos son $1,2,4$ .

El elemento identidad es uno de los elementos de cada uno de los subgrupos, y cada elemento de orden $2$ genera un subgrupo de orden $2$ . ¿Hay elementos de orden $4$ ? Pensando en estas ideas, deberías ver cómo elaborar tu lista.

La notación $\langle a,b,c,\ldots\mid\ldots \rangle$ es una especial para describir un presentación de un grupo . Está relacionado con notación de conjunto pero no es exactamente lo mismo.

Las letras de la mitad izquierda denotan el suministro de símbolos que generan el grupo. La multiplicación de estos símbolos sólo implica el uso de exponentes y la escritura de símbolos uno al lado del otro. Por ejemplo, $a\cdot b=ab$ , $ab\cdot b=ab^2$ y así sucesivamente. Así que no me malinterpretes: la mitad izquierda no es una lista completa de lo que hay en el grupo, es una lista de símbolos que generan el grupo.

Las ecuaciones de la mitad derecha son reglas que controlan el comportamiento de la multiplicación. Por ejemplo, en el Klein $4$ grupo, una de las reglas es que $b^2=1$ Así que, de hecho $ab\cdot b=ab^2=a1=a$ . Estos se llaman relaciones para este grupo, ya que relacionan los productos entre sí y controlan el funcionamiento del grupo.

Answer 2

$G=\{e,a,b,ab\}$ la relación dice que todo elemento no trivial tiene orden $2$ .

Así, $H_1=\{e,a\}$ , $H_2=\{e,b\}$ , $H_3=\{e,ab\}$ , $H_4=\{e\}$ , $H_5=G$ son todos subgrupos.

La notación $<x,y,z..>$ significa que el grupo está generado por elementos $x,y,z..$ si un grupo es generado por un elemento entonces es cíclico. En ese caso, $G=<a,b>$ significa que cada elemento de $G$ puede escribirse en términos de $a$ y $b$ que satisface la relación dada.