¿Es este módulo en esta álgebra de grupo proyectivo?

Question

Asumir que $G$ es un grupo finito. Que $k$ ser un campo. Que $\varepsilon$ sea el % de aumento $kG\rightarrow k$. Considere el siguiente mapa

$\varepsilon\otimes id:k[G]\otimes_k k[G]\rightarrow k[G]$

puesto que es isomorfo a $k[G]\otimes_kk[G]$ $k[G\times G]$ esto nos permite visualizar $k[G]$ como un módulo de % de $k[G\times G]$. ¿Mi pregunta es: es este módulo un proyectivo $k[G\times G]$-módulo?

¿Es claro cuando $char\;k\not\mid|G|$ puesto que en este caso $k[G\times G]$ es semisimple así todo es proyectivo, pero lo que sucede en general? ¿Es ese módulo proyectivo todavía?

Answer 1

La respuesta es no. Tomemos, por ejemplo, $A=\mathbb{F}_2[C_2\times C_2]$ donde $C_2=\langle c\mid c^2=1\rangle$ es el grupo cíclico de orden 2. Yo reclamo que $A$ es indecomposable. De hecho, es fácil ver que la izquierda regular módulo contiene precisamente una 1-dimensional submódulo $W$ atravesado por $$w=(1,1)+(1,c)+(c,1)+(c,c).$$ (En efecto, supongamos $x=\alpha(1,1)+\beta(1,c)+\delta(c,1)+\gamma(c,c)$ abarca un 1-dimensional submódulo. Actuando en $x$ $(1,c)$ muestra que $\alpha=\beta$$\delta=\gamma$, y de actuar con $(c,1)$ muestra $\alpha=\delta$$\beta=\gamma$. Por lo tanto, $x=w$.)

En la otra mano, tome $u=(1,1)+(1,c)$$v=(1,1)+(c,1)$. A continuación, $V=\mathrm{span}\{u,v,w\}$ es un 3-dimensional subespacio invariante de $_AA$ contiene $W$. Si había un cumplido, sería un 1-dimensional submódulo diferente de $W$, lo cual es imposible.

Ahora, $\mathbb{F}_2[C_2]$ es de 2 dimensiones, por lo que no puede ser un sumando directo de un libre $A$-módulo, como se $\dim A=4$ $A$ es indecomposable.

Answer 2

Ese módulo es proyectivo, precisamente cuando el grupo álgebra kG es separable sobre el campo k (esto es, esencialmente, la definición de separabilidad) y separabilidad implica semisimplicity. Se deduce que es proyectivo si y sólo si la característica del campo no divide la orden del grupo.