Mostrar que la matriz de$SO_3(\mathbb R)$ tiene la forma$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta&-\sin\theta\\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$

Question

Me gustaría mostrar que la matriz de $SO_3(\mathbb R)$ son de la forma $$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&-\sin\theta\\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$$ en una cierta base. Así, en primer lugar, estoy tratando de demostrar que una matriz a de $SO_3(\mathbb R)$ es de la forma $$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&a&b\\0&c&d\end{pmatrix},$$ y así desde $ad-bc=1$ y $$1=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&a&b\\0&c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&a&b\\0&c&d\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^T,$$ vamos a conseguir que $a^2+c^2=1$, $a=d$ y $c=-b$.

Por lo tanto, si $\lambda=1$ es un valor eigen, vamos a tener que $Au=u$ $A^Tu=u$ durante un cierto $u$. Luego, en base a $\{u,a,b\}$, tendremos que $$A=\begin{pmatrix}1&a&b\\0&c&d\\0&e&f\end{pmatrix}$$ y $$A^T=\begin{pmatrix}1&A&B\\0&C&D\\0&E&F\\\end{pmatrix},$$ finalmente llegamos $A=a=B=b=0$, $C=c$, $D=d$, $E=e$ y $F=f$, por lo que la demanda siga. Ahora, ¿cómo puedo demostrar que $1$ es realmente un eigevalue ?

Answer 1

Desde $A$ es ortogonal, los autovalores de a $A$ debe $\pm 1$. Considere el polinomio característico $\chi_A(x)$$A \in \operatorname{SO}_3(\mathbb{R})$. Este es un verdadero polinomio de grado tres y así debe tener una raíz real. Si esta raíz es $\lambda_1 = 1$, hemos terminado. Si esta raíz es $\lambda_1 = -1$, escribir

$$\chi_A(x) = (x + 1)(x^2 + bx + c) = (x - \lambda_1)g(x). $$

El polinomio $g$ es un polinomio real de grado dos. Ahora tenemos dos opciones

1. Si $g$ factores $(x - \lambda_2)(x - \lambda_3)$ $\lambda_i \in \{ \pm 1 \}$ y no podemos tener $\lambda_2 = \lambda_3 = -1$ porque $\det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = (-1)^3 = -1$.
2. Si $g$ es irreductible, tendremos $g(x) = (x - \lambda_2)(x - \overline{\lambda_2})$ $\det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \overline{\lambda_2} = - |\lambda_2|^2 \neq 1$ - una contradicción.

Por lo tanto, en cualquier caso, hemos demostrado que $A$ han $1$ como un valor propio.