Un grupo infinito finitamente generado contiene una copia isométrica de $\mathbb{R}$ es decir, contiene una geodésica bi-infinita

Question

La cuestión es: demostrar que un grupo infinito finitamente generado $G$ contiene una copia isométrica de $\mathbb{R}$ es decir, contiene una geodésica bi-infinita ( $G$ está dotado de la palabra métrica).

Ni siquiera sé lo que tengo que demostrar. No tiene sentido para mí. La palabra métrica de $G$ asume valores en los números naturales. ¿Cómo puede haber una isometría entre un subgrafo del grafo de Cayley de $G$ y la línea real $\mathbb{R}$ .

Estoy muy confundido.

Encontré esta pregunta aquí (hoja 6, ex. 1).

Answer 1

Esta es la respuesta general. En primer lugar, demuestre que cualquier grafo infinito localmente finito conectado contiene un rayo geodésico. En efecto, fijemos un vértice $x$ y encontrar un vértice $x_n$ a distancia $n$ a $x$ y un segmento geodésico $S_n$ unirse a $x$ a $x_n$ . Por un argumento de compacidad, la secuencia $(S_n)$ se acumula en un rayo geodésico que emana de $x$ .

Ahora supongamos además que su grafo es isometría-transitiva (por ejemplo, el grafo de Cayley de un grupo f.g.). Entonces por el caso anterior para cada $n$ hay un segmento geodésico $T_n$ de longitud $2n$ que, utilizando la homogeneidad, puede suponerse centrada en el punto fijo $x$ . El mismo argumento de compacidad muestra que $(T_n)$ se acumula a una geodésica bi-infinita. Se trata de una incrustación isométrica del grafo de Cayley de $\mathbf{Z}$ .

Answer 2

Me voy a centrar en lo que has dicho que estás confundido, es decir:

"¿Cómo puede haber una isometría entre un subgrafo del gráfico de Cayley de G y la recta real $\mathbb{R}$ ?".

Podemos ampliar la métrica de la palabra en $G$ a una métrica en el grafo de Cayley de forma natural, siendo cada arista una copia isométrica de un intervalo unitario. Bajo esta métrica, el grafo de Cayley de $\mathbb{Z}$ con respecto al generador $1$ es isométrica con respecto a $\mathbb{R}$ .