Demostración de Weil de un teorema sobre representaciones irreducibles finitas de productos de grupos compactos

Question

Teorema Dejemos que $G$ y $H$ sean grupos compactos. Sea $$be a finite dimensional irreducible continuous representation of $ G×H $ over the field of complex numbers. Then$$ es un producto tensorial de representaciones irreducibles de $G$ y $H$ .

En su libro L'integration dans les groupes topologiques, Weil demostró este teorema en condiciones más generales. Su demostración era corta y elemental. No utilizó ningún análisis funcional. Por otro lado, Pontryagin demostró el mismo teorema utilizando el teorema de Peter-Weyl en su famoso libro.

Me quedé perplejo. ¿Es correcta la prueba de Weil?

Answer 1

No conozco ninguna de las dos pruebas, pero no hace falta ningún análisis para demostrarlo. Aquí hay una prueba corta:

Desde $\rho$ es de dimensión finita, una vez restringida a $G = G\times 1,$ podemos encontrar un irreducible $G$ -subrep'n $\psi$ . Considere $Hom_G(\psi,\rho)$ ; se trata de una dimensión finita $H = 1\times H$ -representación. Sea $\chi$ sea un irreducible $H$ -subrep'n. Entonces la evaluación da un mapa no nulo $\psi \otimes \chi \hookrightarrow \rho,$ que debe ser un isomorfismo, ya que el origen y el destino son irreducibles.

Supongo que la prueba de Weil es similar, si es corta y general.