¿La integral $ \int_ {0}^{e} \sqrt {x} \ln {x} \ dx$ convergen o divergen?

Question

Dividir: $$ \int_ {0}^{e} \sqrt {x} \ln {x} \ dx= \int_ {0}^{1} \sqrt {x} \ln {x}\ dx + \int_ {1}^{e} \sqrt {x} \ln {x} \ dx.$$

La segunda integral es claramente convergente ya que se define en $[1,e].$ Para la primera integral, vemos que

$$ \int_ {0}^{1} \sqrt {x} \ln {x}\ dx \leq\int_ {0}^{1} 1 \cdot\ln {x}\ dx.$$

Esto implica que $ \sqrt {x} \leq1 ,$ para $x \in [0,1]$ lo cual es cierto. Ahora sé que la segunda integral es convergente con el valor de $-1.$ Por lo tanto, la integral original también es convergente.

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Por favor, dame una respuesta a mi razonamiento. Sé que tengo la respuesta correcta, pero ¿la motivación para ello es correcta y lo suficientemente estricta? Digamos que esta pregunta da 3 puntos en una prueba, ¿cuánto garantizaría esta solución?

¿Hay alguna forma más rápida de deducir la convergencia?

Answer 1

Desafortunadamente, no: tu lógica es no válido. Usaste la desigualdad

$$ \int_0 ^1 \sqrt {x} \ln x \, dx \le \int_0 ^1 \ln x \, dx$$

para concluir que $ \sqrt {x} \le 1$ y luego concluyó que el resultado es cierto. Esto tiene tres problemas serios:

• No puedes usar $ \int_0 ^1 f \, dx \le \int_0 ^1 g \, dx$ para concluir que $f \le g$ a pesar de todo.

• La primera desigualdad es en realidad falsa, porque $ \ln x \le 0$ en este intervalo.

• No se puede derivar a algo verdadero, y usar eso para concluir que la premisa también era verdadera.

Además, su argumento para la convergencia en $[1, e]$ no es correcto. El integrando está definido y delimitado . Tener un integrador definido en todas partes no garantiza la convergencia.

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Un enfoque correcto sería hacer algo como lo siguiente: Combinar eso $ \sqrt {x} \in [0, 1]$ para $x \in [0, 1]$ el hecho de que $| \sqrt {x} \ln x| \le | \ln x|$ para $x \in (0, 1]$ y finalmente que

$$ \int_0 ^1 | \ln x|\, dx$$

converge.

Answer 2

En realidad puedes hacer esta integral \begin {alinear} & \quad\ ; \int_0 ^e \sqrt {x} \ln xdx= \frac {2}{3} \int_0 ^e \ln x d x^{3/2}= \frac {4}{9} \int_0 ^e \ln x^{3/2} dx^{3/2} \\ &= \frac {4}{9} \int_0 ^{e^{3/2}} \ln ydy= \frac {4}{9} \left.y ( \ln y-1) \right |_0^{e^{3/2}}= \frac {2}{9}e^{3/2}, \end {alinear} que es finito, por lo que converge.

Answer 3

SUGERENCIA: use eso $$ \int \sqrt {x} \ln (x)dx= \frac {2}{9} x^{3/2} (3 \log (x)-2)$$ y $$ \lim_ {x \to 0^+}x \ln (x)=0$$

Answer 4

Dado que ya hay algunas respuestas que responden a su pregunta específica, me gustaría mostrar el método que utilizaría para mostrar convergencia de la integral. Denota $f(x)= \sqrt x \ln x$ . Primero, fíjese que para cualquier $x \in (0,e]$ , $f$ es Riemann-integrable sobre $[x,e]$ ya que está limitada (e incluso continua) en todos esos intervalos. Por lo tanto, es localmente Riemann-integrable. Ahora, para $f$ para ser una integral impropia, es decir, converger, uno tiene que mostrar que

$$ \lim_ { \alpha\rightarrow0 ^-} \int_ { \alpha }^ef(x)dx$$

converge. Usando el teorema principal del cálculo, esto equivale a decir que

$$ \lim_ { \alpha\rightarrow0 ^-}(F(e)-F( \alpha )),$$

donde $F$ es un antiderivado de $f$ . Se puede encontrar usando la integración parcial y está dada por $F(x)= \frac {2}{9} \sqrt {x^3}(-2+ \ln x)+c$ donde $c \in\mathbb R$ una constante, que bien podría ser $0$ ya que se cancela de todos modos. Desde $F(e)$ es sólo una constante, sólo tenemos que preocuparnos por $F( \alpha )$ en el límite. Se puede mostrar usando la regla de L'Hopital que este término converge en cero, sólo noten que en

$$F( \alpha )=- \frac {4}{9} \sqrt { \alpha ^3}+ \frac {2}{9} \sqrt { \alpha ^3} \ln \alpha $$

el primer término tiende a cero si $ \alpha $ tiende a cero y

$$ \sqrt { \alpha ^3} \ln \alpha = \frac { \ln \alpha }{ \alpha ^{- \frac {3}{2}}},$$

a la que L'Hospital puede aplicarse para conseguir

$$ \lim_ {x \rightarrow0 ^-} \frac { \ln \alpha }{ \alpha ^{- \frac {3}{2}}}= \lim_ {x \rightarrow0 ^-} \frac { \alpha ^{-1}}{- \frac {3}{2} \alpha ^{- \frac {5}{2}}}= \lim_ {x \rightarrow0 ^-}- \frac {2}{3}x^ \frac {3}{2}=0.$$

Noten que he omitido la constante $ \frac {2}{9}$ ya que no tiene ningún efecto en el convergencia del límite. Ya que el límite es $0$ puede ser omitido aún más. En conclusión es $ \lim_ { \alpha\rightarrow0 ^-}(F(e)-F( \alpha ))=F(e)$ y por lo tanto, convergente, lo que implica que la integral es impropiamente convergente.

Tal vez este método sea algo más largo, en vez de más corto como usted pidió, pero espero que le dé una mejor idea de cómo se pueden abordar esos problemas de manera alternativa (y algo más formal).

Por favor, señale cualquier error que note.