Es $\int_0 ^1 \frac{1-x^p}{1-x} $ para valores racionales no enteros de $p$ ?

Question

Es bien sabido que el $n$ -número armónico $H_n$ tiene la representación integral $\int_0^1 \frac{1-x^n}{1-x}$ . Si sustituimos $n$ con racionales no enteros $p$ ¿alguna vez conseguimos un resultado racional?

Mi único pensamiento, debido a W|A, es que $$\int\frac{1-x^p}{1-x}=-\frac{x^{p+1}}{p+1} {}_2F_1(1,p+1;p+2; x) - \log(1-x),$$ donde $ {}_2F_1$ es la función hipergeométrica, así que lo que estamos viendo es $$\lim_{x\to1^-}-\frac{1}{p+1} {}_2F_1(1,p+1; p+2; x)-\log(1-x).$$

Answer 1

Como señala whacka en los comentarios, la integral es igual a $$p\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+p)}=\gamma + \psi^{(0)}(1+p),$$ (donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni) que se demostró trascendental por M. Ram Murty y N. Saradha en 2007 .

Tenga en cuenta que en el enlace hay una errata, en realidad $1\le a\le q-1$ y que utilizando $$ \psi^{(0)}\left(1+ \frac aq \right) = \psi^{(0)}\left(\frac aq\right) + \frac qa$$ tenemos trascendencia para valores mayores de $a$ también (excluyendo los múltiplos de $q$ Por supuesto).