Un problema clásico en combinatoria/probabilidad

Question

He leído este problema en la Cognición y la Oportunidad de Raymond Nickerson (el problema es declarado no se discute)

A bag has 2n balls, two of which are marked '1', another two marked '2' and so 
on. m balls are chosen, find the probability that k pairs are still in the bag.

Aquí está mi mano en la solución:

El $k$ parejas son elegidas por $ n \choose k$. Y deje $x_i$ el número de bolas elegido de tipo $i$ (excluyendo el $k$ elegido previamente) y estos a $x_i$'s debe satisfacer: $$ x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-k} = m .\tag{1}$$ and clearly $$ 1 \leq x_i \leq 2 \tag{2}$$

Taking the generating function to solve this partition problem. $$ (x+x^2)^{n-k} \tag{3}$$ the $x^m$ term in $(3)$ is say $X_m$ and the answer becomes $n\elegir k$$X_m$. Sin embargo, aplicar el Teorema del Binomio en $(3)$ da una respuesta muy simple. Estoy muy skepticall acerca de esta respuesta. Funciones de generación no ha sido mi amigo últimamente. Estoy seguro de que el enfoque es correcto, aunque. Donde he pasado mal y lo que es la expresión final para $X_m$

Answer 1

Supongo que la bolsa es para contener $k$ pares, y nada más "singles" en el que, como lo sugiere el enfoque de la publicación de la pregunta. Y dado que, de acuerdo con el post de ello se sigue que uno quiere contar el número de soluciones de (1) con la restricción (2). Recordando el post: $$ x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-k} = m ,\tag{1} $$ $$ 1 \leq x_i \leq 2. \tag{2}$$ Ahora tenga en cuenta que la restricción (2) impone dos desigualdades en $m$. Si el $x_k$ están en su límite inferior $1$ obtenemos $n-k \le m$, mientras que si ellos están en su límite superior $2$ obtenemos $m \le 2n-2k.$, por Lo que la restricción en $m$ en términos de $n,k$ a fin de que no estar de todas formas en todas las, para finalizar con $k$ pares en la bolsa es $$ n-k \le m \le 2n-2k. \tag{3}$$

Ahora defina $y_k=x_k-1$, de modo que $y_k \in \{ 0,1 \}$, y luego tenemos a $$y_1+\cdots +y_{n-k}=m-(n-k).$$ El número de soluciones que este es el número de subconjuntos de a $\{1,...,n-k\}$ del tamaño de la $m-(n-k)$.

Poner este recuento junto con el $\binom{n}{k}$ formas de seleccionar los pares para que el bolso le da el resultado de la cuenta (en virtud de la restricción (3) más arriba) $$\displaystyle \binom{n-k}{m-(n-k)} \binom{n}{k}.$$ Note here that $0 \le m-(n-k) \le la n-k$ follows from restriction (3). Of course this is only the number of ways, not the probability; divides by $\binom{2n}{m}$ para la probabilidad.

EDIT: me di cuenta de que la información anterior es correcta, pero es la cuenta de cuántas maneras puede ser $k$ pares en la bolsa, tal vez también otros solo no apareados de bolas. En la notación de la ecuación (1) de la post (y por encima), siempre que $x_k=1$ significa que la otra bola etiquetados $k$ es en la bolsa de unchosen bolas. Nada cambia en los cálculos anteriores, afortunadamente --- no me acaba pensando que el derecho sobre precisamente lo que está siendo contado.

EDITAR de NUEVO: ahora pienso que, si las dos bolas de un determinado número de ellos se consideran diferentes, que es necesario para el denominador se $\binom{2n}{m}$, entonces no debería ser un factor adicional de $2^r$ donde $r$ es el número de variables $x_i$ (1) los que tienen el valor de $1$. Esto es debido a que, si $x_i=1$, significa que uno de los dos bolas etiquetados $i$ es para estar en la bolsa, y el otro no. También pienso que si las bolas del mismo número en ellos son considerados indistinguibles, más complicado enfoque para el recuento puede ser necesaria, y también la resultante de la probabilidad puede ser diferente que en el "distinguible pares" caso anterior.

Answer 2

Tiene$n$ pares, suponga que permanecen los pares 1 a$k$. Luego, puede sacar cualquier$m$ bolas del resto$2 n - m$, que puede seleccionar de$\displaystyle \binom{2 n - m}{m}$ maneras. Pero los pares restantes se seleccionaron arbitrariamente, por lo que realmente es$\displaystyle \binom{n}{k} \binom{2 n - m}{m}$. El número total de formas de tomar$m$ de$2 n$ es$\displaystyle \binom{2 n}{m}$. Juntando todo, la probabilidad es: $$ \ frac {\ binom {n} {k} \ binom {2 n - m} {m}} {\ binom {2 n} {m}} $$ (no hay simplificación aparente )