¿Qué hace " $\cong$ ¿Representa el signo "?

Question

Me encontré con esta señal al leer algunos documentos. Busqué en Wikipedia. Dice: "El símbolo " $\cong$ " se utiliza a menudo para indicar estructuras algebraicas isomorfas o figuras geométricas congruentes". Así, si A $\cong$ B, ¿significa esto que A y B son más o menos iguales, pero no iguales?

Editar: Encontré esta señal en un documento llamado Identifying Change Points in Linear Regressionns http://goo.gl/dNMONQ En la página 9 hay una ecuación (ecuación 3.1) que dice RSS $\cong$ RSS1+RSS2. RSS es la suma residual del cuadrado de una línea de regresión, RSS1 y RSS2 son otras dos sumas residuales del cuadrado de líneas de regresión.

gracias por su ayuda.

Answer 1

De forma muy general, se puede pensar en $\cong$ como "dos cosas son 'esencialmente iguales' pero no son idénticamente uno", mientras que $=$ significa que son idénticos. Esto se entiende y se explica mejor viendo los casos en los que se utiliza:

1. En geometría, $\cong$ significa congruencia de las figuras, lo que significa que las figuras tienen la misma forma y tamaño. (En geometría avanzada, significa que una de ellas es la imagen de la otra bajo un mapeo conocido como "isometría", que proporciona una definición formal de lo que significa "misma forma y tamaño") Dos triángulos congruentes parecen exactamente iguales, pero no lo son el mismo triángulo ya que entonces sólo habría un triángulo, no dos. (También se podría decir que se forman a partir de diferentes puntos del espacio.) Hablando en términos coloquiales, son "copias" o "clones" el uno del otro. Una copia de algo no es literalmente idéntica a la otra, aunque se parezcan en todo.

2. En álgebra abstracta, $\cong$ significa isomorfismo, que dice que los dos objetos son estructuralmente lo mismo. Intuitivamente, si tenemos, digamos, un par de grupos, y son isomorfos, los "patrones" formados por las operaciones son los mismos, aunque los elementos que componen los conjuntos base de los grupos no sean los mismos. (Es decir, si se pudiera dibujar una tabla (no es físicamente posible para grupos infinitos) de las operaciones de grupo, tendrían el mismo "patrón", sólo que expresado con símbolos posiblemente diferentes) Formalmente, significa que hay un mapa biyectivo entre los dos que respeta las operaciones (en el sentido dado en los otros posts aquí). Cualquier propiedad abstracta-algebraica de uno se mantiene para el otro (es decir, cualquier propiedad que no dependa específicamente de las características particulares de los elementos de los conjuntos base como objetos en sí mismos). Desde el punto de vista del álgebra abstracta, es esta estructura la que importa, y la composición precisa de los conjuntos base no, por lo que desde ese punto de vista diríamos que son "esencialmente iguales", pero no tienen por qué serlo idénticamente la misma, ya que la composición de los conjuntos de base puede ser diferente. Si los conjuntos de base son el mismo, entonces realmente tenemos un solo objeto matemático, y son iguales, $=$ .

Probablemente hay algunos puntos filosóficos aquí - la distinción ciertamente tiene un sabor filosófico, a saber, con respecto a si las cosas que son indiscernible (es decir $\cong$ ) son idéntico (es decir $=$ ). En matemáticas, es útil distinguir entre los dos conceptos: los triángulos indiscernibles (es decir, congruentes) pueden ocupar diferentes partes del espacio, por ejemplo, y puede ser necesario distinguir los grupos isomorfos si, por ejemplo, nos ocupamos de ellos como parte de un problema o situación más amplia en la que tenemos que ocuparnos de algo más que de sus propiedades desde un punto de vista abstracto-algebraico, es decir, cuando la composición de sus conjuntos base también es relevante para el problema. También puede haber casos en los que haya múltiples tipos de estructura definidos en el mismo conjunto base, y dos objetos pueden ser isomorfos con respecto a un tipo de estructura, pero no a otro.

Answer 2

Esto significa que las dos estructuras $A$ y $B$ son isomorfas, pero lo que eso signifique exactamente depende del tipo de estructuras de las que estemos hablando.

Por ejemplo, si $A$ y $B$ son grupos, entonces $A\cong B$ significa que $A$ y $B$ son isomorfos como grupos. Esto significa que vistos como grupos son esencialmente idénticos, comparten todas las mismas propiedades de grupo. Explícitamente, si $A$ tiene operación de grupo $*$ y $B$ tiene funcionamiento $\star$ entonces $A\cong B$ significa que existe una función biyectiva (unívoca y onto) $f:A\rightarrow B$ tal que $f(a_1*a_2)=f(a_1)\star f(a_2)$ para todos $a_1,a_2\in A$ . El mapa $f$ se llama isomorfismo. De la existencia de dicho mapa, se puede deducir que si $A$ tiene una determinada propiedad de grupo, también lo tiene $B$ y viceversa.

El tipo de isomorfismo que $\cong$ indica es completamente dependiente del contexto, podría ser un isomorfismo de anillos, grupos, conjuntos, módulos, álgebras, etc.

A la inversa, $A=B$ suele utilizarse para indicar que $A$ y $B$ son iguales, lo que es más fuerte que isomorfo. Si $A=B$ entonces no es necesario construir un isomorfismo $f$ para deducir las propiedades de $A$ a partir de las propiedades de $B$ porque son idénticos.

Por ejemplo, si hablamos sólo de la teoría de conjuntos, podemos ver $A=\{1,2,3\}$ y $B=\{2,1,3\}$ . Entonces $A=B$ . Si en cambio tenemos $A=\{1,2,3\}$ y $B=\{2,4,5\}$ entonces $A\neq B$ . pero $A\cong B$ como conjuntos porque se puede definir un mapa $f:A\rightarrow B, 1\mapsto 4, 2\mapsto 2, 3\mapsto 5$ esta función es unívoca y onto, por lo que, dado que los conjuntos no poseen estructuras adicionales, podemos decir que $A$ es isomorfo a $B$ como conjuntos.

Answer 3

En álgebra abstracta, $\cong$ indica que dos estructuras son isomorfas entre sí.

En términos sencillos, si $A$ y $B$ se definen mediante conjuntos de elementos y algunas propiedades que describen las interacciones entre los elementos, $A$ y $B$ son isomorfas entre sí si $A$ se puede hacer para que se vea exactamente como $B$ simplemente reetiquetando los elementos.

El función que reetiqueta los elementos se llama isomorfismo.

En general, un isomorfismo es un mapa que preserva la estructura entre dos estructuras algebraicas y que admite una inversa (wikipedia).

Su primer contacto con el concepto de isomorfismo debe ser entre "grupos" en el álgebra abstracta, donde un isomorfismo de grupo es una función que es biyectiva (uno a uno y sobre) y homomórfica.