Demostrando un número es irracional

Question

Del hecho de que $\frac{1}{5}(3+4i)$ tiene orden infinito en $(\mathbb{C},\cdot)$, debo inferir que $\frac{1}{\pi}\arctan{\frac{4}{3}}$ es irracional. Irracionalidad de $\arctan\frac{4}{3}$ sigue inmediatamente pero no puedo ver por qué la irracionalidad del producto. Agradecería cualquier insinuación!

Answer 1

Sea el número complejo, entonces $\alpha$ $\alpha^n = \frac{a_n}{5^{n+1}} + \frac{b_n}{5^{n+1}}i$

y puesto que tenemos $$\alpha^n = \frac{1}{5}(3+4i)\left(\frac{a{n-1}}{5^n} + i\frac{b{n-1}}{5^n}\right) = \frac{1}{5^{n+1}}\left(3a{n-1} - 4b{n-1} + i(a{n-1} + 3b{n-1})\right)$$ it is clear that $ an = 3a {n-1} - {n-1} %#% de 4b_ #% bn = R {n-1} + 3b_ {n-1} $and$ a_1 = 15 $, with$ b_1 = 20$.

Todo lo examinar $and$ encontramos $\pmod{7}$ y $(a_1, b_1) = (1, 6), (a_2, b_2) = (0, 5), (a_3,b_3) = (6,1)$ así el ciclo continúa con no $(a_4,b_4)=(0,2), (a_5, b_5) = (1,6)$.

Por lo tanto, $b_n = 0$ nunca es real, pero si tendríamos $\alpha^n$ $\arctan(4/3) = \frac{p}{q}\pi$.