De lo que uno de $n$ enteros consecutivos debe ser divisible por $n$

Question

Si tenemos $n$ enteros consecutivos, uno de estos enteros es divisible por $n$. Demostrar la afirmación anterior.

Answer 1

Consejos: Que los enteros se $m,m+1,\dots,m+n-1$. Si $m$ es un múltiplo de $n$, listo. Si no, escriba $m=qn+r$, donde $q$ $r$ son números enteros y $0<r aqu="" cociente="" cuando="" divide="" el="" que="" resto="" s="" se="" son="" y="">1. ¿Es $m+c$ uno de los enteros consecutivos $n$? ¿En otras palabras, es cierto que $0\le c<n></n>

2. ¿Es divisible por $m+c$ $n$? ¿Por qué?

</r>

Answer 2

Hay $n$residuos clases mod $n$. Si usted tiene $n$ enteros consecutivos, se llenan todas clases de residuo $n$. Uno de ellos debe estar en la clase de residuo de cosas divisibles por $n$; es decir, cosas $=0\pmod{n}$.

Answer 3

Sugerencia $\ $ Deje $\rm\ a\ $ ser el más grande en la secuencia. $\rm\: mod\ n\!:\ a\equiv r\,\in\, [\:\!0,\:\!n)\:$ $\rm\:n\ |\ a\!-\!r\,\in\, [\!\:a,\:\!a\!-\!n)$

Esto ha generalizado aplicaciones, como por ejemplo esta la prueba de que $\rm\:n\:|\:(n\!-\!1)!\:$ compuesto $\rm\:n.$

Nota $\ $ Esto es sólo un desplazado equivalente del Algoritmo de la División, es decir, la siguiente equivalencia es verdadera en cualquier dominio euclídeo $\rm Z\:$ (de dominio con un algoritmo de división con más 'pequeño' resto)

$$\begin{array}{rcrlrl} &\rm \exists\!\!\!&\rm q,r \in Z, &\rm\ a\: =\: q\:n + r, \!\!\!\!&\rm |r| \!\!\!&\rm <\ |n| \\ \displaystyle\rm{b\: =\: a\!-\!r\ \atop{\huge\iff\atop\phantom{M}}} &\rm \exists\!\!\! &\rm q,b\in Z, &\rm\ b\: =\: q\:n, \!\!\!\!&\rm |a\!-\!b| \!\!\!&\rm <\ |n| \end{array}\qquad$$

Answer 4

$\ let \ k,k-1,k-2,....,(k-(n-1)) \ are \ 'n' \ consecutive \ integers.$

$\begin{equation} \begin{aligned} k(k-1)(k-2)(k-3).....(k-(n-1))=& \frac{k(k-1)(k-2)(k-3).....(k-(n-1))(k-n)....1}{(k-n).....1}\ =&{\frac{k!}{(k-n)!n!}.n!}\ \end{alineado} \end{Equation}$ $$\implies n!|k(k-1)(k-2)....(k-(n-1))$ $ $$\implies n|k(k-1)(k-2)....(k-(n-1))$ $