¿Cuando una transformación de la cubierta es una cubierta?

Question

¿Dado un % de cubierta $c:\tilde{X}\to X$, hay un conjunto de condiciones para $T:\tilde{X}\to \tilde {X}$ a ser una transformación de la cubierta proporciona $p=p\circ T$?

Sé que si T es la identidad, el problema es trivial. ¿Pero es cierto para cualquier otro T que no es la identidad?

Answer 1

Para $T$ para una cubierta de transformación de todo lo que necesitamos es $p=pT$. Si bien es cierto que la identidad satisface esto, podemos tener muchas más posibilidades de $T$'s. Tomemos, por ejemplo, la cobertura de mapa de $p : \Bbb{R} \rightarrow S^1$ dado por el estándar $p(x)=e^{2 \pi i x}$. Luego integral traducciones son válidas cubriendo las transformaciones. Es decir, tomar $T: \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}$ $T(x) = x + n$ donde $n \in \Bbb{Z}$. Entonces es fácil ver que $p(x) = pT(x)$.

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Si desea $T$ (una cubierta de transformación de la satisfacción de $p=pT$) sí a una cubierta mapa: $T$ es siempre una cubierta mapa porque $T$ es siempre un homeomorphism y homeomorphisms siempre están cubriendo los mapas.

Answer 2

Buena pregunta. Usted puede considerar la posibilidad de $\Lambda$ el conjunto de toda la cubierta de $X$ del espacio total $X^\sim$ y en este conjunto el grupo $\hom(X^\sim ,X^\sim)$ actos porque se puede demostrar que si $p\in\Lambda$$\psi\in \hom(X^\sim ,X^\sim)$$p\circ \psi \in \Lambda$. Así, en esta perspectiva, la pregunta es para encontrar ${\rm Stab}(p)$ con rispect a esta acción.

Para la primera creo que se puede observar que la Puñalada($p$) es un subgrupo de $\hom(X^\sim ,X^\sim)$. Hay alguna relación entre este grupo y $\pi_1(X,p(e_0))$?

Sí, siempre se puede definir un mapa de $\Phi: \pi_1(X,p(e_0))\to{\rm Stab}(p)$ que se asigna a cada $\gamma^\sim$ $\Phi(\gamma^\sim):X^\sim \to X^\sim$tal que $\Phi(\gamma)(x)={\rm lifting}_{x}((p\circ l_x)\gamma \overleftarrow{(p\circ l_x)} )(1)$ donde $l_x $ es un camino entre el $x$ $e_0$ $X^\sim$