Demostrar que la existencia de derivadas parciales acotadas implica la continuidad de una función.

Question

Sea $E \subset \mathbb{R^n}$ sea abierto y deje que $f:E \to \mathbb{R}$ . Supongamos que ${\partial f \over \partial x_1}, ..., {\partial f \over \partial x_n}$ existen y están acotadas en E. Demostrar que $f$ es continua en $E$

¿Cómo puedo demostrarlo? Pensaba que la existencia de derivadas parciales no implicaba la continuidad de la función. ¿Cómo afecta la condición de que cada parcial esté acotada?

Agradecería cualquier pista o, posiblemente, un esbozo de la prueba. Muchas gracias.

Por cierto, el subíndice de este último parcial es una n. Sé que es difícil de leer.

Answer 1

Pista: Aplicar el teorema del valor medio coordenada a coordenada para $$f(a+h,b+k)-f(a,b)=\big(f(a+h,b+k)-f(a+h,b)\big)+\big(f(a+h,b)-f(a,b)\big).$$