Suma de cuadrados de números enteros divisibles por 3

Question

Supongamos que $n$ es una suma de cuadrados de tres enteros divisibles por $3$ . Demuestra que también es una suma de cuadrados de tres enteros no divisibles por $3$ .

De la condición, $n=(3a)^2+(3b)^2+(3c)^2=9(a^2+b^2+c^2)$ . Siempre que los tres números de dentro sean divisibles por $3$ podemos seguir sacando un factor de $9$ , hasta que consigamos $n=9^k(x^2+y^2+z^2)$ . Módulo $3$ , los cuadrados dejan un remanente de $0$ o $1$ . Por lo tanto, uno o tres de $x,y,z$ son divisibles por $3$ .

Answer 1

Dejemos que $n=(3x_1)^2+(3x_2)^2+(3x_3)^2$ . Entonces

$$n=(2x_1+2x_2-x_3)^2+(2x_2+2x_3-x_1)^2+(2x_3+2x_1-x_2)^2\;,$$

y el $x_i$ pueden elegirse independientemente con cualquier signo.

Dejemos que $k$ sea el menor exponente de $3$ en el $x_i$ y escribir $x_i=3^k(3a_i+r_i)$ con $0\le r_i\lt3$ . Por construcción, al menos uno de los $r_i$ es distinto de cero. Si sólo uno es distinto de cero, todas las sumas contienen exactamente $k$ factores de $3$ . Si dos son distintos de cero, elija los signos para que $r=(0,1,1)$ y si los tres son distintos de cero, elija los signos para que $r=(1,1,2)$ . En todos los casos, las tres sumas contienen exactamente $k$ factores de $3$ y, por tanto, al menos uno menos que antes. El resultado se deduce entonces por inducción.

Answer 2

Inducción en el poder de $9$ dividiendo el número. Comience con cualquier número no divisible por $9,$ aunque se permite que sea divisible por $3.$ La hipótesis en este momento es sólo que este número es la suma de tres cuadrados, digamos $n = a^2 + b^2 + c^2.$ Desde este $n$ no es divisible por $9,$ se deduce que al menos uno de $a,b,c$ no es divisible por $3.$ Ordenemos para poder exigir $c$ no divisible por $3.$ Si $a+b+c$ es divisible por $3,$ sustituirlo por $-c$ y utilizar el mismo nombre. Ahora tenemos $$ a + b + c \neq 0 \pmod 3. $$

Inducción: dejar $n = a^2 + b^2 + c^2,$ con $a+b+c \neq 0 \pmod 3.$ Entonces $$ 9n = (a-2b-2c)^2 + (-2a+b-2c)^2 + (-2a-2b+c)^2, $$ donde los tres sumandos son distintos de cero $\pmod 3.$ Podemos multiplicar por otro $9,$ luego otro, y así sucesivamente.

La fórmula es $- \bar{q} p q $ en los cuaterniones con coeficientes racionales enteros, donde $q=i+j+k$ y $p= ai+bj+ck.$