Max. y el valor mínimo de $f(\phi) = \frac{1+\cos \phi}{2+\sin \phi}.$

Question

Cálculo de máx. y min. valor de $\displaystyle f(\phi) = \frac{1+\cos \phi}{2+\sin \phi}.$

$\bf{My\; Solution::}$ Dejar $\displaystyle y = \frac{1+\cos \phi}{2+\sin \phi}\Rightarrow 2y+y\sin \phi = 1+\cos \phi$

Entonces,$y\cdot \sin \phi - 1\cdot \cos \phi=1-2y\;,$ Ahora, usando la desigualdad de cauchy-Schwatrz, obtenemos

$\displaystyle \left((y)^2+(-1)^2\right)\cdot \left(\sin^2 \phi+\cos^2 \phi\right)\geq \left(2y\sin \phi-\cos \phi\right)^2\Rightarrow \left(y^2+1\right)\geq \left(1-2y\right)^2$

Asi que $\displaystyle y^2+1\geq 1+4y^2-4y\Rightarrow 3y^2-4y\leq 0\Rightarrow 3y\left(y-\frac{4}{3}\right)\leq 0 $

Así obtenemos$\displaystyle 0\leq y \leq \frac{4}{3}\Rightarrow y\in \left[0,\frac{4}{3}\right]$

Mi pregunta es, ¿podemos resolverlo utilizando geométricamente o utilizando la prueba derivativa?

Si es así, entonces por favor explícame, gracias

Answer 1

PS

Así,

$$\displaystyle f(\phi) = \frac{1+\cos \phi}{2+\sin \phi}\implies f'(\phi)=-\frac{2\sin\phi +\cos \phi +1}{(2+\sin \phi)^2}.$$$f'(\phi)=0\Leftrightarrow 2\sin\phi +\cos \phi +1=0.$ \ sin ^ 2 \ phi + \ cos ^ 2 \ phi = 1,$ Since $ \ sin \ phi = -4 / 5, \ cos \ phi = 3/5$ we get that $ \ sin \ phi = 0, \ cos \ phi = -1. $

Ahora,

$ or $ $ y

PS

Al utilizar la segunda prueba derivada, llegamos a la conclusión de que la función alcanza su mínimo en$$\sin \phi=0,\cos \phi=-1\implies \phi=\pi+2n\pi=(2n+1)\pi, n\in\mathbb{Z}.$ y su máximo en$$\sin \phi=-\frac45,\cos \phi=\frac 35 \implies \phi=-\arcsin(4/5)+2n\pi, n\in\mathbb{Z}.$. El valor mínimo es$\phi=(2n+1)\pi, n\in\mathbb{Z}$ y el valor máximo es$\phi=-\arcsin(4/5)+2n\pi, n\in\mathbb{Z}.$