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AMC 2010B 12 problema ayuda #18

Alguien puede explicar esta solución? Una rana hace 3 saltos, cada uno exactamente 1 metro de largo. Las direcciones de los saltos son elegidos de forma independiente al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la rana de la posición final es de no más de 1 metro de su posición inicial?

Solución 1

Vamos a dejar que los movimientos sean los números complejos a,b , y c, cada uno de magnitud. La rana comienza en el origen. Es relativamente fácil demostrar que exactamente un elemento en el conjunto

$$ {abs(a+b+c),abs(a+b-c),abs(a-b+c),abs(a-b-c)} $$

tiene magnitud igual o inferior a 1. Por lo tanto, la probabilidad es de 1/4.

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Soke Puntos 8788

Es curioso que yo recuerde este problema. De todos modos esto es cómo he resuelto:

La rana comienza a $(0, 0)$ y hace un salto, WLOG dejar la tierra en $(1, 0)$. A partir de aquí, la rana puede hacer dos saltos y en cualquier lugar de la tierra en un círculo de radio $2$ centrada en $(1, 0)$, cada punto es igual de probable. Este tiene una superficie de $4 \pi$, y este círculo es lo suficientemente grande para que contenga la totalidad de la circunferencia de radio $1$ centrada en $(0, 0)$ que queremos que la rana para terminar en. Por lo tanto, la probabilidad es $\frac{\pi}{4\pi} = \frac{1}{4}$

Como para la solución que enlaza, no sé particularmente lo que te preocupa acerca de lo que voy a explicar como puedo:

Elegimos al azar a tres pasos de $a, b, c$. Si exactamente uno de los elementos tiene valor absoluto (hablando longitud del vector aquí con números complejos) menor o igual a $1$, entonces, de $4$ posibilidades, una será en el interior del círculo interior. Por lo que la probabilidad es $\frac{1}{4}$.

¿Cómo podría usted demostrar que exactamente una de ellas? Trate de considerar si es posible tener más de un paso que satisface las condiciones, y además considerar si si ninguno de ellos. (Esto es casi la esencia de la solución, así que no quiero comer con cuchara, ya que este es el concurso de matemáticas)

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