¿Si son iguales los límites iterados converger la secuencia doble?

Question

Si $(a_{m,n})$ es una doble secuencia (en $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) y $\lim_m\lim_n a_{m,n}=\lim_n\lim_m a_{m,n}=a$ entonces podemos deducir $\lim_{m,n}a_{m,n}=a$? Más específicamente podemos deducir $\lim_{n}a_{n,n}=a$?

Creo que esto es cierto, pero no estoy seguro. Mi intento en una rigurosa prueba:

Deje $\epsilon>0$. Argumento 1: $$\exists N_{\epsilon}\in \mathbb{N}: i\ge N_{\epsilon}\implies \left|\lim_ja_{i,j}-a\right|<\epsilon\text{ and }\left|\lim_ja_{j,i}-a\right|<\epsilon$$ Esta es la definición del límite (me tome $N$ como máximo de los dos $n_0$).

Argumento 2: $$i\ge N_{\epsilon}\implies \lim_j\left|a_{i,j}-a\right|<\epsilon\text{ and }\lim_j\left|a_{j,i}-a\right|<\epsilon$$ Esta es una aplicación del límite de las leyes.

Ahora fix $i\ge N$. Argumento 3: $$\exists M_{\epsilon,i}\in \mathbb{N}:j\ge M_{\epsilon,i}\implies \left|a_{i,j}-a\right|<\epsilon\text{ and }\left|a_{j,i}-a\right|<\epsilon$$ Esto se deduce del hecho de que si $\lim_n\left|b_n\right|<K$, para las grandes $K>0$, $\left|b_n\right|<K$.

Argumento 4: Como $\epsilon>0$ es arbitrario, $$\lim_j\left|a_{i,j}-a\right|=0\text{ and }\lim_j\left|a_{j,i}-a\right|=0$$ Este es el mal argment en mi opinión, como he

$$(\forall \epsilon>0)(\existe N_{\epsilon}\in \mathbb{N}): \ i\ge N_{\epsilon}\implica (\existe M_{\epsilon,i}\in \mathbb{N})\ :j\ge M_{\epsilon,i}\implica \left|a_{i,j}-\right|<\epsilon\text{ y }\left|a_{j,i}-\right|<\epsilon $$ y de esto puedo deducir $$(\forall \epsilon>0)(\existe M\in \mathbb{N})\ :j\ge M\implica \left|a_{i,j}-\right|<\epsilon\text{ y }\left|a_{j,i}-\right|<\epsilon $$ para un gran $i$ significado

$$(\forall \epsilon>0)(\existe N,M\in \mathbb{N}): \ i\ge N_{\epsilon}\text{ y }j\ge M_{\epsilon,i}\implica \left|a_{i,j}-\right|<\epsilon\text{ y }\left|a_{j,i}-\right|<\epsilon $$

Yo básicamente perder la dependencia de la $i$. Esta es la diferencia por ejemplo entre la continuidad y la continuidad uniforme de la derecha?

Así, $$i\ge N\implies \lim_ja_{i,j}=\lim_ja_{j,i}=a$$ (que lo dudo). A partir de aquí dejamos $i\to \infty$ y obtener el resultado.

Answer 1

Completamente actualizado para que coincida con la ampliación de la pregunta:

Algo más de la notación me va a ayudar a analizar esto. Para $i\in\Bbb N$ deje $r_i=\lim_ja_{i,j}$, y para $j\in\Bbb N$ deje $c_j=\lim_ia_{i,j}$:

$$\begin{array}{cc} a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,2}&\dots&\to&r_0\\ a_{1,0}&a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&\to&r_1\\ a_{2,0}&a_{2,1}&a_{2,2}&\dots&\to&r_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ \downarrow&\downarrow&\downarrow&\dots&\ddots&\vdots\\ c_0&c_1&c_2&\dots&\dots&? \end{array}$$

Su Argumento 1 dice que $|r_i-a|<\epsilon$ $|c_i-a|<\epsilon$ al $i\ge N_\epsilon$. Argumento 2 no dice nada más. Ahora se arregla un $i\ge N_\epsilon$. Su Argumento 3 es incompleta. Lo que se puede afirmar es que hay un $M_{i,\epsilon}$ tal que $|a_{i,j}-r_i|<\epsilon-|r_i-a|$ $|a_{j,i}-c_i|<\epsilon-|c_i-a|$ siempre $j\ge M_{i,\epsilon}$, lo que implica entonces (a través de la desigualdad de triángulo) que $|a_{i,j}-r_i|<\epsilon$ $|a_{j,i}-c_i|<\epsilon$ siempre $j\ge M_{i,\epsilon}$. Sin embargo, la conclusión a la que llega es la correcta.

Como pensaba, de Argumento 4 es el verdadero problema, y por la razón que dan: has perdido la fuerte dependencia de $i$$M_{i,\epsilon}$. Creo que esta dependencia es aún más evidente en la ampliación de la justificación que me dieron para su Argumento 3: usted necesita para obtener $|a_{i,j}-r_i|$ no menos de $\epsilon$, pero menos de $\epsilon-|r_i-a|$, que podría ser mucho menos de $\epsilon$ si $r_i$ es apenas dentro de$\epsilon$$a$. (Y sí, esto es similar a la diferencia entre la continuidad y la continuidad uniforme.)

Answer 2

No. Que $a{m,n}=0$ si #% de %#% y $m\ne n$ % todos $a{n,n}=1$.