Mostrar que $2k\choose k$ divide el lcm de $1, \dots, 2k+1$

Question

Quiero mostrar que $(2k+1){2k\choose k}$ es un factor de $\text{lcm}(1, \dots, 2k+1)$.

Claramente el divisor es igual a $2^k\frac{1\cdot3\cdot\dots\cdot (2k+1)}{k!}$, pero no sé cómo mostrar que esto divide el mínimo común múltiplo.

Answer 1

Si $p^m||n$, vamos a decir $v_p(n)=m$.

Aquí, se prueban $$v_p\left(\binom{2n}{n}\right)\le v_p(\text{lcm}[1,2,3,\dots,2n])$ $ tenga en cuenta que para algunos prima $p$, $$p^m \le 2n

Así, el lado derecho contiene más primos $p$ en factores primos y tenemos que $\binom{2n}{n}$ divide $\text{lcm}[1,2,3,\dots,2n]$, o alternativamente, eso él divide $\text{lcm}[1,2,3,\dots,2n,2n+1]$.