Muestran que un grupo de orden $180$ no es simple.

Question

Lo que deduje es que $n_5=1,6$ o $36$. Hemos terminado si $n_5=1$.

Si $n_5=36$ lo $N_G(P)=P$ para cualquier Sylow $5$-subgrupo P $|N_G(P)|=\frac{180}{36}=5$ $P$ es abelian cíclica para por Teorema de Burnside p complemento existe un subgrupo normal de orden $36$ que es complemento a $P$, fino, y estamos hechos, no es sencillo.

$n_5=6$, $|N_G(P)|=\frac{180}{6}=30$. Desde aquí puedo ver #%-Teorema de $N/C$% #%. En este caso yo estoy atascado, ayuda por favor.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Asumir $G$ es fácil y eso $n_5=6$, que % índice $[G:N_G(P)]=6$, $P \in Syl_5(G)$. Pero luego se $G$ meta homomorphically en $A_6$ (tenga en cuenta que la base $_G(N_G(P))=1$, $G$ es simple!). Pero índice $[A_6:G]=360/180=2$, lo que implica $G$ es normal en $A_6$, que contradice la simplicidad de $A_6$.