Resolución de una ecuación diferencial parcial simple

Question

Quiero resolver la siguiente ecuación diferencial parcial:

$$2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} - \frac{\partial ^2u}{\partial x\,\partial y} - \frac{\partial ^2u}{\partial y^2} = 0$$

Es hiperbólica, así que la convertí en forma canónica, usando $E=x+y$ y $N=x-2y$

Esto me llevó a la ecuación:

$$9\frac{\partial ^2u}{\partial E\,\partial N}=0$$

...que debería ser mucho más fácil de resolver, pero por alguna razón no me entra en la cabeza. ¿Puede alguien explicar el método para resolverlo?

Answer 1

La solución es simplemente

$$u(E,N) = f(E) + g(N)$$

Piénsalo: diferenciar con respecto a $E$ deja $f'(E)$ . Entonces, diferenciando con respecto a $N$ da cero. También funciona a la inversa.

Esto significa que

$$u(x,y) = f(x+y) + g(x-2 y)$$