Central idempotents de un anillo que tiene un único módulo simple hasta isomorfismo

Question

Que $R$ ser un anillo tal que cualquier dos % simple $R-modules$son isomorfos. No demostrar que $R$ idempotentes centrales no triviales.

Sé cómo comprobarlo un anillo simple $R$, ya que un idempotent central produce un ideal de dos caras. Pero ¿por qué es verdad para cualquier anillo en general?

Answer 1

Si hay un idempotente central no trivial$e$, entonces$R=eRe\oplus (1-e)R(1-e)$ es una descomposición en dos anillos. Si$M$ es un ideal izquierdo máximo en$eRe$ y$N$ un ideal izquierdo máximo de$(1-e)R(1-e)$, entonces$I=M\oplus (1-e)R(1-e)$ y$J=eRe\oplus N$ son ideales izquierdos máximos de$R$.

Además,$R/I$ y$R/J$ son módulos simples no isomórficos. (Por ejemplo,$eRe$ aniquila a$R/J$ pero no a$R/I$.