Si mcd(ab, c) = 1, entonces mcd(a, c) = 1 = mcd(b, c)

Question

Hay que hacerlo por la identidad de Benzout, pero ni idea

Answer 1

La respuesta es sí. Esto se puede demostrar usando la identidad de Bezout para el caso de números primos relativos. Vayamos por partes. En primer lugar, sabemos que si a y b son enteros no nulos y d=mcd(a,b), entonces hallaremos enteros u,v tales que d=ua+vb. Sin embargo, el recíproco no es cierto en general. Esto es, es posible que se dé la expresión anterior y d no sea el mcd. Pero en el caso de que d=1 (a y b son primos relativos), el recíproco es cierto. Tu problema se ajusta a este último caso. Supongamos que mcd(ab,c)=1, entonces hallaremos enteros u,v tales que 1= (ab)u+cv. Entonces 1=a(bu)+cv lo que significa que mcd(a,c)=1 pues existen enteros (bu y c) que cumplen la identidad de Bezout. El otro caso es similar.