En el componente conectado de $\{z \in \mathbb{C} : |p(z)| \le 1\}$, $p$ debe desaparecer por lo menos una vez.

Question

<blockquote> <p>Si $p$ es un polinomio no constante, y $G$ es un componente conectado abierto de $\{z \in \mathbb{C} : |p(z)| \le 1\}$ y $p$ tiene al menos un cero en $G$</p> </blockquote> <p>Mis pensamientos hasta ahora. Supongamos que $p$ es distinto de cero en $G$. Por el principio de módulo mínimo, $p(z)$ entonces alcanza su mínimo (dice $m$) en el límite de $G$. ¿Desde aquí, o bien queremos mostrar que $G$ no se puede conectar, o tal vez que $p$ debe ser constante, y por lo tanto tenemos una contradicción? ¿Pensamientos?</p>

Answer 1

Sugerencia: Mostrar que $m$ tiene que ser igual al $1$, por lo que $1$ es entonces tanto el mínimo de $p$ $G$ y un alto obligado, por lo que $p$ es constante (igual a $1$) en el no-vacío abierto conjunto $G$, una contradicción.

Answer 2

Deje $G$ ser un componente conectado de $A=\{z:|p(z)| \leq 1\}$ tal que $G \subsetneq A$

Suponga que $p(z)$ no tiene una raíz en $G$ $g(z)=\frac{1}{p(z)}$ es holomorphic en $G$ $|g(z)| \geq 1,\forall z \in G$

Desde el mínimo del módulo de principio existe $z_0 \in G \cup \partial G$ tal que $|g(z_0)|=1$ y $|g(z)| \geq |g(z_0)|=1,\forall z \in G$

Supongamos ahora que $z_0 \in \partial G$ $\exists \epsilon>0$ tal que $B(z_0,\epsilon) \cap G \neq \emptyset$$B(z_0,\epsilon) \cap G^c \neq \emptyset$.

Podemos optar $\epsilon$ lo suficientemente pequeño tal que $B(z,\epsilon) \subset A$

Pero $B(z_0,\epsilon)$ es un conjunto conectado de modo que por el hecho de que $G$ está conectado a un componente de $A$,debemos tener la $B(z,\epsilon) \subset G$ lo cual es una contradicción.

Por lo tanto $z_0$ es en el abierto de la región de $G$ $|p(z_0)|=1$ $z_0$ es de un máximo de $p$ y es alcanzado en $G$

Por lo tanto $p$ es constante, que es de nuevo una contradicción.