¿Partición no estándar por sumas de Riemann?

Question

Yo sé que definitivamente me vio un ejemplo de esto en este sitio en el pasado, pero no puedo encontrarlo.

En muchos (me atrevería a decir más?) Calc. I clases, si yo, a decir, querido evaluar $$\int_{a}^{b}f(x)\text{ d}x$$ Me gustaría dividir el intervalo de $[a, b]$ a $n$ igualmente espaciados rectángulos, cada uno con altura $f(x_i)$ ($i \geq 1$), donde $x_i = a + b \cdot \Delta x$ $i \geq 1$, $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$, $x_0 = a$, $x_n = b$, y calcular $$\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n}f(x_i)\,\Delta x\text{.}$$ Me parece recordar viendo un problema en este sitio web donde $f$ no es una buena función polinómica, y fue beneficioso para usar una partición diferente de la igualmente espaciados $n$ rectángulos. Yo por desgracia no se puede encontrar este ahora, después de la búsqueda.

Stewart texto no parece haber ejemplos de otras particiones para el cómputo de las sumas de Riemann. Donde puedo encontrar ejemplos de integrales definidas calculadas usando otras particiones, además de la $n$ igualmente espaciados rectángulos de la partición?

Answer 1

Para evaluar la integral de polinomios (o combinación lineal de potencias de $x$) es el mejor no tiene una norma de la partición y los puntos puede ser elegido para estar en progresión geométrica. Por lo tanto $x_{i} =ar^{i} $$r^{n} =b/a$$r\to 1$$n\to\infty$. Esto funciona si $a, b$ son del mismo signo y puede ser extendida a general $a, b$ con un poco más de esfuerzo. Si usted intenta este enfoque con $f(x) =x^{m} $, a continuación, obtendrá inmediatamente la integral como $(b^{m+1}-a^{m+1})/(m+1)$ $m\neq - 1$ (ver detalles en esta respuesta). Cuando se utiliza la misma técnica con $f(x) = x^{-1}$ usted obtiene el límite $$\lim_{n\to\infty} n(\sqrt[n] {b/a} - 1)$$ and this is nothing but $\log (b/a)$ (véanse los detalles en esta respuesta).

Answer 2

Aquí está el método de Fermat para la integración de poderes:

https://mathcs.clarku.edu/~ma121/Fermat.pdf