Un número entero positivo es igual a la suma de cifras de un múltiplo de sí mismo.

Question

Deje $n$ ser un entero positivo, demostrar que existe un entero positivo $k$, de modo que $n$ es igual a la suma de los dígitos de $nk$.

No estoy realmente seguro de cómo debo enfocar este problema, he tratado de hacer un enfoque constructivo, pero me he perdido.

He intentado sólo demuestra la existencia, sino que no funciona tampoco.

Lo siento si esto no se parece a un puesto de trabajo en ella, pero siento que nada de lo que he hecho es ir a ningún resultado. Así que espero que ustedes puedan resolver este problema.

Muchas gracias de antemano, saludos.

Answer 1

Yo tengo, yo estaba tratando de encontrar un múltiplo de $n$ que tiene la suma de los dígitos $n$. Lo que tenemos que hacer es encontrar un número que tiene la suma de los dígitos $n$ que es un múltiplo de a $n$.

En otras palabras, que los números tienen suma de los dígitos $n$? Un tipo particular de tales números son los que han$n$, y no los otros dígitos.

Podemos construir un número que es múltiplo de $n$. Escribir $n$$2^a5^bj$$(j,10)=1$.

A continuación, $10^{k\varphi(j)}$ es congruente a $1\bmod j$ a través de Euler, y si $k$ es lo suficientemente grande, a continuación, $10^{k\varphi(j)}$ es un múltiplo de a $2^a5^b$.

Tan sólo tome $n$ números de dicho formulario, agregue ellos y se obtiene un número con la suma de los dígitos $n$ que es congruente a $n=0\bmod j$ y es un múltiplo de a $2^a5^b$. En otras palabras, un múltiplo de $n$ con la suma de los dígitos $n$, como se desee.

Answer 2

Hay una manera sencilla de responder este tipo de preguntas. Y hay un tipo de número al que llama Niven números.

Un Niven número es un número, $N$, por lo que su suma de los dígitos divide $N$. Lo que usted está tratando de demostrar es que cada entero es la suma de los dígitos de un Niven número.

Aquí es cómo se puede ir sobre ella. Cada número puede ser escrito en la forma: $$N = b_k 10^k + b_{k-1} 10^{k-1} + \cdots + b_0 10^0$$ for some $k$ and $0 \le b_i \le 9$.

Desde $10^i$ puede tomar en la mayoría de las $n$ valores de modulo $n$, $10^{i + j} = 10^i$ algunos $j$ y todos los $i$. En otras palabras, la función de $f(i) = 10^i$ periodo $j$ modulo $n$.

Por lo tanto, si tenemos en cuenta $N = 10^{nj} + 10^{(n-1)j} + \cdots + 10^{j}$ tenemos $$N \equiv 10^{nj} + 10^{(n-1)j} + \cdots + 10^{j} \equiv (\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n \text{ times}})10^{j} \equiv n10^{j} \equiv 0 \mod n.$$

Ivan Niven introducido Niven números como una posible vía de investigación accesible a los estudiantes de pregrado. Su papel apareció en una revista para la educación universitaria. Estos números también ir bajo el nombre de Harshad números, pero creo que Niven números son más comunes. La página Wiki de "Harshad" números contiene muchas referencias a artículos referentes a Niven números.