Demostrando que $\frac{3}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4}{k^3+k^2} = \pi^2-6$

Question

Estoy tratando de demostrar que:

PS

He intentado mirar las sumas parciales, pero no hubo suerte allí. Simplemente no tengo idea de por dónde empezar. Sabiendo que$$\frac{3}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4}{k^3+k^2} = \pi^2-6$ parecía ayudar, pero me quedo atascado, no importa cómo lo mire.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

De manera equivalente, usted está solicitando$$6\,\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^3 + k^2} $ $

Usando la descomposición parcial de tus fracciones, podemos dividir esto en$$6\,\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k^2} + \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k}\right) $ $

Los telescopios segundo y tercero, dando una suma de -1. El primer término suma a$\pi^2/6$, que es un hecho bien conocido. Para una serie de pruebas, ver aquí .

Poniendo todo esto junto, su serie suma a$\pi^2 - 6$. Puedes completar este argumento.

Answer 2

Pista: $$ \ frac {4} {k ^ 3 + k ^ 2} = \ frac {4} {k ^ 2 (k +1)} = \ frac {a_1} {k ^ 2} + \ frac {a_2 } {\ vphantom {k ^ 2} k} + \ frac {a_3} {\ vphantom {k ^ 2} k +1} $$ para algunas constantes$a_1$,$a_2$ y$a_3$, y $$ \ zeta (2) = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {k ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6}. $$

Answer 3

Ya casi lo tienes.

La suma de $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac 4 {k+1}-\frac 4 k$ es una suma de telecscopic, así que es fácil.

la suma de $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac 4 {k^2}$ necesita una expansión en serie de fourier y aplicar el teorema de Parseval y listo. Tratar de ampliar $f(x)=x$ $(-\pi, \pi)$, no estoy seguro si ese intervalo es el mejor, pero debe hacer el truco.

También $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac 1 {k^2} = \zeta(2)=\frac {\pi ^2} 6$