Producto de una Log-Normal cambiado de puesto y una distribución Log-Normal

Question

Deje $X$ $Y$ seguir Log-Normal de las distribuciones, con $\ln X \sim \mathcal{N}(\mu_x, \sigma_x^2)$ y $\ln Y \sim \mathcal{N}(\mu_y, \sigma_y^2)$. $X$ y $Y$ son independientes. Deje $W = X (Y + c)$ donde $c$ es una constante. Es $W$ iniciar Sesión-Normalmente distribuida? Si no, puede $W$ ser aproximada por una Log-Normal de distribución?

Sé que el producto de la Log-Normal distribuciones Log-Normal. Por desgracia, $Y+c$ ya no es una Log-Normal, ya que su apoyo es $[c, \infty)$. Por el contrario, el apoyo de $W$ es de nuevo $[0, \infty)$, lo que no excluye la posibilidad de que $W$ sigue una Log-Normal de distribución.

Por otra parte, la aproximación numérica de $W$ efectivamente parece ser la Log-Normal - ver la superposición de los histogramas de abajo, con $\mu_x = 2$, $\mu_y = 4$, $\sigma^2_x = \sigma^2_y = 1$, y $c = 5$.

Answer 1

Suponiendo que el objetivo es que el $X$ $Y$ son independientes, entonces la $X(Y+c)$ no es lognormal.

(edición: considerar la posibilidad de que por Cramer teorema $\log(W)$ sólo será normal si tanto $\log(X)$$\log(Y+c)$, pero el segundo término no es normal; Mathemagical menciona este argumento a continuación)

Sin embargo, las sumas de bivariante lognormals son a menudo muy cerca de la lognormal y $XY$ $cX$ son conjuntamente lognormal; para una feria rango de valores de los parámetros, la aproximación por una lognormal probablemente será bastante decente.

Con su ejemplo, una gran simulación (decir $10^6$ puntos) muestra claramente que la cola inferior de la $\log(W)$ es un poco más ligero y la parte superior de la cola un poco más pesado que el de una normal, de modo que usted puede decir, sin ni siquiera preocuparse por el álgebra. Repite las simulaciones muestran la misma imagen cada vez.

Sin embargo, la lognormal aproximación es excelente en ese caso en particular, especialmente en el medio del 98% de la distribución.

Sin embargo, usted no puede siempre confiar en ella trabajan sin comprobar; no es difícil encontrar ejemplos en los que la suma de lognormals no está cerca de la lognormal. Vea parte de la discusión y las referencias que en este post en CrossValidated -- La suma de independiente lognormal variables aleatorias aparece lognormal? para información adicional (aunque la pregunta es sobre el caso independiente mientras que $XY$ $Xc$ no son independientes, sin embargo la información es relevante)

Algunos papeles para la correlación caso:

Mehta, N. B., Wu, J., Molisch, A. F., y Zhang, J., (2007),
"La aproximación de una Suma de Variables Aleatorias con una Lognormal,"
IEEE transactions on de las Comunicaciones Inalámbricas, 6(7), 2690-2699.

La torre del CJ y Kerman MC, (2015),
"La aproximación de la Suma de Correlación Lognormals: Una Aplicación"
arXiv:1508.07582 [q-fin.GN]
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1508/1508.07582.pdf

Lo, C. F. (2012),
La Suma y Diferencia de Dos Lognormal Variables Aleatorias Diario de Matemáticas Aplicadas Volumen De 2012, Artículo de IDENTIFICACIÓN 838397, 13 páginas http://dx.doi.org/10.1155/2012/838397

Answer 2

Por supuesto, la simulación numérica no te puedo decir mucho ya que muchas de distribtuions tienen una forma similar. Hay algunos trivial enfoques para la aproximación de $c>0$: $$ P(X(Y+c)\leq w)\leq \min\{P(X\leq w),P(Xc\leq w\}\}. $$ Así que el CDF es superior delimitada por la log-normal de las distribuciones. Y para el límite inferior de todas las $\delta\in(0,1)$: $$ P(XY\leq w(1-\delta),cX\leq \delta w)\leq P(X(Y+c)\leq w), $$ que tiene la log-normal de la cola así que no es sorpresa que ver log-normal de similitud en su numéricos de las evaluaciones.

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Usted puede tratar de forma explícita caracterizar la distribución, aunque no trivial:

$$ P(W\leq w)=P(X(Y+c)\leq w)=P(\ln X+\ln(Y+c)\leq \ln w)\\ =\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}e^{-\dfrac{(x-\mu_x)^2}{2\sigma_x^2}}P(\ln(Y+c)\leq \ln w-x)\mathrm dx.. $$ El uso de los siguientes $$ P(Y+c\leq e^{w-x})=P(Y\leq e^{w-x}-c)=P(\ln Y\leq \ln(e^{\ln w-x}-c))=F_{\mu_y,\sigma^2_y}(\ln(e^{\ln w-x}-c)), $$ tenemos $$ P(W\leq w) =\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}e^{-\dfrac{(x-\mu_x)^2}{2\sigma_x^2}}F_{\mu_y,\sigma^2_y}(\ln(e^{\ln w-x}-c))\mathrm dx\\ =\int_{-\infty}^{\ln\frac wc}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}e^{-\dfrac{(x-\mu_x)^2}{2\sigma_x^2}}F_{\mu_y,\sigma^2_y}(\ln(e^{\ln w-x}-c))\mathrm dx. $$ Incluso para el estándar de la distribución normal, esta no será la log-normal.