Sobre los espacios medibles isomorfos

Question

Dejemos que $(X, \mathcal{A})$ y $(Y, \mathcal{B})$ sean espacios medibles. Supongamos además que $X$ es un espacio topológico, con topología $\tau$ y que $\mathcal{A}$ es el $\sigma$ -generada por $\tau$ .

Supongamos ahora que $(X, \mathcal{A})$ y $(Y, \mathcal{B})$ son isomorfo es decir, existe una biyección $f: X \rightarrow Y$ de manera que ambos $f$ y $f^{-1}$ son medibles. Podemos definir una topología $\tau'$ en $Y$ por $$\tau' := \{ f(V): V \in \tau \}.$$

Mi pregunta es la siguiente: ¿es $\mathcal{B}$ generado necesariamente por la topología $\tau'$ ?

Es fácil ver que $\mathcal{B}$ contiene el Borel $\sigma$ -generada por $\tau'$ pero ¿puede ser estrictamente mayor?

Gracias, Malik

Answer 1

No, no puede ser más grande. La familia $\mathcal{A}'=\{f^{-1}(B):B\in\sigma(\tau')\}$ es un $\sigma$ -álgebra en $X$ que contiene $\tau$ y por lo tanto también $\sigma(\tau)=\mathcal{A}$ . Por lo tanto, $\{f(A):A\in\mathcal{A}'\}\supseteq\mathcal{B}$ . Pero por construcción, $\{f(A):A\in\mathcal{A}'\}=\sigma(\tau')$ y por lo tanto $\mathcal{B}\subseteq\sigma(\tau')$ .