Integración de contornos mediante la fórmula integral de Cauchy

Question

Necesito demostrar que

$$\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin^2(x)}{x^2+1}dx=\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{1}{e^2}\right)$$

pero no sé muy bien por qué no obtengo el resultado utilizando la integración de contornos (se supone que no debo utilizar el teorema del residuo).

¿No puedo utilizar la fórmula integral de Cauchy de esta manera:

$$\int_{\gamma_r} \dfrac{\frac{\sin^2(z)}{z+i}}{z-i}dz =2\pi i\frac{\sin^2(i)}{2i}$$

a lo largo del límite del semicírculo superior de radio r? La otra trayectoria sería 0 (la frontera sin la trayectoria a lo largo del eje real). ¿Cuál es el problema con este enfoque?

Answer 1

Escriba a

$$\sin^2{x} = \frac{1}{2} (1-\cos{2 x})$$

Entonces la integral anterior es igual a

$$\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} - \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} dx\frac{\cos{2 x}}{1+x^2} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} dx\frac{\cos{2 x}}{1+x^2}$$

Considere

$$\oint_C dz \frac{e^{i 2 z}}{1+z^2}$$

donde $C$ es un semicírculo en el semiplano superior de radio $R$ . Por el teorema del residuo, esta integral es igual a $i 2 \pi$ tiempo la suma de los residuos de los polos dentro de $C$ . En este caso, el único polo dentro $C$ está en $z=i$ en el que el residuo es $e^{-2}/(2 i)$ .

Mientras tanto, la integral de contorno desaparece a lo largo del contorno semicircular en el límite como $R \rightarrow \infty$ (¿por qué?), así que nos queda la integral a lo largo de la recta real:

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx\frac{e^{i 2 x}}{1+x^2} = \int_{-\infty}^{\infty} dx\frac{\cos{2 x}}{1+x^2} = i 2 \pi \frac{e^{-2}}{2 i} = \frac{\pi}{e^2}$$

El resultado es el siguiente.

Answer 2

Los polos de $ x^{2}+1 $ son $ i $ y $-i $ expandir la función seno y aplicar el teorema del residuo a

$$ \int_{-\infty}^{\infty}dx \frac{e^{2ix}}{x^{2}+1} $$

recuerde $ sin^{2}(x)= \frac{e^{2ix}+e^{-2ix}-2}{-4} $ y $ \int_{-\infty}^{\infty}dx \frac{1}{x^{2}+1}= \frac{\pi}{2} $