¿Función de L a s = 5 con D =-4?

Question

Quiero saber el valor de $L(5,-4)$. Recuerda $$ L (s, D) = \sum_ {n = 1} ^ n \infty \left(\frac{D}{n}\right) ^ {-s}. $$ quisiera una referencia con cómputos de $L(5,D)$, o más generalmente, de $L(s,D)$ $s$ y número natural impar.

Answer 1

Si no me equivoco, es equivalente a $D=-4$ $D=-1$, y su símbolo es solo $\pm1$ según el resiude de $n$ modulo 4, por lo que $$L(5,-4)=1-3^{-5}+5^{-5}-7^{-5}+\dots$$ This is known to be $5\pi^5/1536$. A reference for this and other special values of $L$-functions es la sección titulada otras serie de energía en libro de Jolley, suma de Series, un libro en rústica de Dover.

Para esta serie particular, Jolley cita página 501 de Edwards J, cálculo diferencial, publicado por Macmillan en 1938.