Pregunta sobre espacio de Sobolev $W^{k,p}_0$

Question

Estoy leyendo el libro "Análisis Aplicado" por Hunter, y dice que:

Informalmente, el espacio de Sobolev $W^{k,p}_0$ puede ser visto como $W^{k,p}$-funciones cuyas derivadas de orden menor o igual a $k-1$ se desvanecen en el límite

Pero, ¿por qué dicen los pedidos de menos de o igual a $k-1$, en lugar de $k$?

El $C^{\infty}_c$ funciones están en $W^{k,p}_0$, y sus derivados de todos los pedidos que desaparecer, y desde el espacio de $W^{k,p}_0$ es la realización de dicha suave funciones, por lo que debe o no decir todos los pedidos de menos de $k$?

Answer 1

Creo que esto puede hacerse claro mediante el teorema de rastro. Se considero $p=2$ para la simplicidad. El teorema de seguimiento proporciona existencia del rastro operador $T$ y, más importante aún, el límite

$$|Tu|{L^2(\partial \Omega)} \leq C |u|{H^1(\Omega)}.$$

Tenga en cuenta que perdemos un derivado en el límite: sólo controlamos el rastro en el espacio $L^2$. En general es fácil ver en el espacio $H^k$ podemos esperar control del operador del rastro en el espacio $H^{k-1}$.