Encontrar todos los valores de $n$ mayor o igual a 1 para que $n! + (n + 1)! + (n + 2)!$ es igual a un cuadrado perfecto.

Question

No está seguro dónde comenzar en esto. Empecé listado números de n a partir de 1, pero los números son muy grandes muy rápido y no puedo encontrar un patrón. ¿Hay una manera mejor de hacer esto o lo que es el patrón?

Answer 1

Tenemos:

$$n! + (n+1)! + (n+2)! = n!(1 + (n+1) + (n+1)(n+2)) = n!(n+2)^2$$

Así el problema se reduce a encontrar $n$, de modo que $n!$ es un cuadrado perfecto. Para $n = 0$ o $1$ esto es obvio. Para $n > 1$, resulta que tal $n$ no existe. Para ver esto, considere el más grande de prime $p$ en $\{1, 2, \ldots, n\}$. $n!$ sólo contiene un factor de $p$ por Bertrand postulado, por lo que no puede ser un cuadrado perfecto.

También echa un vistazo a esta pregunta para obtener una prueba de que $n!$ no es un cuadrado perfecto para $n > 1$.

Answer 2

$$n! + (n+1)! + (n+2!) = n! \cdot (1+n+1+(n+1)\cdot (n+2)) = n! \cdot (n+2)^2$$ $(n+2)^2$ está claramente. Así $n! + (n+1)! + (n+2!)$ es sólo una plaza, si es cuadrado $n!$. Esto sucede sólo cuando $n=0$ o $n=1$.

Answer 3

Desde $n! + (n+1)! + (n+2)! = n! \left(1 + (n+1) + (n+1)(n+2) \right) = n! \left(n+2\right)^2$ buscas tal $n \geqslant 1$ que $n!$ es un cuadrado perfecto con la única solución aquí es $n=1$.

De hecho, suponiendo que existe tal $n>1$ que $n!$ es un cuadrado perfecto. Sea $p$ el primer mayor no superior a $n$. Claramente divide a $p$ $n!$, sino divide una sola vez.