Desigualdad de la integral definida

Question

Que $f:[a,b] \to R$ ser una función diferenciable entonces que $f(b)=0$. Demostrar que hay un $c \in (a,b)$ que satisface: $$ f'(c) \int_a^c f(t) dt + c \ge \frac{a+b}{2}

¿Ideas útiles que pueden conducir a una solución? Realmente estoy atrapado aquí, aun no puedo encontrar un punto de partida decente.

Answer 1

Considerar $f(x)=1-x,$ $a=0$ y $b=1.$ es

$$f'(c)\int_0^c f(t)dt+c=-\int_0^c(1-t)dt+c=-c+\frac{c^2}{2}+c=\frac{c^2}{2}