Tengo problemas para evaluar los siguientes límites:$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 \frac{1-\sin(\frac{n}{x})}{\sqrt{x^2+1/n}}dx\;.$ $$$\lim_{n\to\infty}\int_1^{2011} \frac{1-\sin(\frac{n}{x})}{\sqrt{x^2+1/n}}dx\;.$ $ Intenté, por ejemplo, usar el teorema de convergencia dominado, por ejemplo, notar que$$|\frac{1-\sin(\frac{n}{x})}{\sqrt{x^2+1/n}}|\le \frac{2}{\sqrt{x^2+1/n}}$ $ pero luego en 0 el Integra diverges ... Gracias de antemano!
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$$\begin{align} \lim_{n\to\infty}\int0^1\frac{1-\sin(\frac{n}{x})}{\sqrt{x^2+1/n}}\mathrm{d}x &=\lim{n\to\infty}\int1^\infty\frac{1-\sin(nx)}{\sqrt{1+x^2/n}}\frac1x\,\mathrm{d}x\tag{1}\ &=\lim{n\to\infty}\int{1/\sqrt{n}}^\infty\frac{1-\sin(n^{3/2}x)}{\sqrt{1+x^2}}\frac1x\,\mathrm{d}x\tag{2}\ &=\lim{n\to\infty}\int{1/\sqrt{n}-\delta}^\infty\frac{1+\sin(n^{3/2}x)}{\sqrt{1+(x+\delta)^2}}\frac1{x+\delta}\,\mathrm{d}x\tag{3}\ &=\lim{n\to\infty}\int{1/\sqrt{n}}^\infty\frac{1+\sin(n^{3/2}x)}{\sqrt{1+x^2}}\frac1x\,\mathrm{d}x\ &+O\left(\frac1n\right)\tag{4}\ &=\lim{n\to\infty}\int{1/\sqrt{n}}^\infty\frac1{\sqrt{1+x^2}}\frac1x\,\mathrm{d}x\ &+O\left(\frac1n\right)\tag{5}\ \end {Alinee el} $$ donde $\delta=\pi n^{-3/2}$ y $(5)$ son el promedio de $(2)$ y $(4)$. $O\left(\frac1n\right)$ $(4)$ Proviene del tamaño de $\delta$ y el derivado de $\frac1{\sqrt{1+x^2}}\frac1x$. La integral en $(5)$ crece como $\frac12\log(n)$. Por lo tanto, $$ \lim{n\to\infty}\int_0^1\frac{1-\sin(\frac{n}{x})} {\sqrt {x ^ 2 +1/n}} \mathrm {d} x = \infty\tag {6} $$
