Cuántos 1-las pelotas son necesarios para cubrir el 2-ball en un $n$-dimensional Espacio Euclidiano?

Question

Considere la posibilidad de $\mathbb{R}^n$ y su habitual norma Euclídea dado por la distancia a la $d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}$.

Deje $B(y,1) = \{ x\in \mathbb{R}^n : d(x,y) \leq 1 \}$ ser el cerrado de 1-bola de $y$ $B(0,2) = \{x\in \mathbb{R}^n: d(x,0) \leq 2 \}$ ser la 2-bola centrada en el origen.

Cuántos 1-pelotas de hacer que usted necesita para cubrir (contener) el 2-ball?

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Answer 1

Hay un límite inferior de $2^n$, que viene inmediatamente de volumen consideraciones. Fijo $n$ no estoy seguro de que cuando el límite superior se conoce exactamente (esto parece incómodamente cerca de la conjetura de Kepler, la cual era difícil incluso en $3$ dimensiones), pero hay asintótica resultados para cubrir el espacio (o esferas de la creciente radios) por las esferas de volver a Rogers ("Una Nota sobre los Revestimientos", de 1957...ver también este papel de Ilya Dumer) que podría ser capaz de hacer algo como $3^n n \log n$. No estoy lo suficientemente familiarizado con esta área para decir que si hay más resultados específicos correspondientes a su problema.

Un rápido (no del todo óptima, y no a mi, aunque no sé una fuente para dar por él) argumento se puede obtener una cota de $5^n$. Considere el siguiente proceso: Colocar las bolas de radio $1/2$ centrada en $x_1, x_2, \dots$ en la esfera de mayor tamaño, con la única restricción de que no hay dos de estas bolas se intersecan (estas bolas puede estar parcialmente fuera de la esfera, sino que debe estar centrado en el interior de la esfera). Continuar con la colocación de estas bolas en una manera arbitraria hasta que no hay más bolas puede ser colocado.

En este punto todas las bolas que han puesto son distintos y se encuentran en una esfera de radio $5/2$ ($1/2$proveniente de las bolas que se centran en el borde de la original de la esfera). Por lo tanto, existen en la mayoría de las $5^n$ bolas colocadas. Además, cada punto de la esfera es dentro de $1$ de uno de sus pelota centros, ya que de lo contrario usted podría encajar otra bola de radio $1/2$. Para la sustitución de su radio de $1/2$ bolas con radio de $1$ bolas con el mismo centro te ofrece una cubierta.

Answer 2

Aquí es una estimación límite superior: si $x_n$ es el número de $n$-bolas de radio $1$ necesario para cubrir el $n$-bola de radio $2$, luego $$x_n\leq \left\lceil \vphantom{\large |} 2\sqrt{n}\right\rceil^n .$$ Considere la posibilidad de que el $n$-bola de radio $2$ puede estar inscrito en el $n$-cubo de lado de longitud $4$. El mayor $n$-cubo que puede estar inscrito en el $n$-bola de radio $1$ $n$- espacio diagonal de $2$, y por lo tanto ha costado longitud de $\frac{2}{\sqrt{n}}$. Por lo tanto, necesitaríamos $$\left\lceil \frac{\quad 4\quad}{\frac{2}{\sqrt{n}}} \right\rceil=\left\lceil \vphantom{\large |} 2\sqrt{n}\right\rceil$$ los bordes de la menor $n$-cubos para cubrir completamente un borde de la mayor $n$-cubo, y por lo tanto necesitaríamos $$\left\lceil \vphantom{\large |} 2\sqrt{n}\right\rceil^n$$ de la menor $n$-cubos para cubrir el mayor $n$-cubo, lo que abarca también a la $n$-bola de radio $2$. Desde cada una de las $n$-bola de radio $1$ contiene uno de estos más pequeños $n$-cubos, por lo tanto, puede utilizar este número de $n$-bolas de radio $1$ para cubrir el $n$-bola de radio $2$.

Answer 3

En $\mathbb{R}^2$ es 7.

Es suficiente porque:

Usted puede tomar el circum-discos de las celdas en una rejilla hexagonal como sus discos pequeños (http://mathworld.wolfram.com/HexagonalGrid.html). Es fácil ver que un disco de radio 2, centrada en el centro de un hexágono, se cruzan exactamente 7 hexágonos, y así la unión de las circunstancias de los discos de los hexágonos (que tiene radio 1) cubre el disco de radio 2.

Es necesaria, porque: Ninguna cubierta de la unidad big disk debe cubrir también sus límites. Si utiliza el 6 discos como en la disposición hexagonal, entonces ellos nunca se superponen en el límite, y en la parte del arco que abarca cada uno es máxima, esto significa que menos de 6 discos no será suficiente para cubrir el límite. Entonces, desde cualquier disco que contiene el origen, en la mayoría de los cruzan la frontera en un solo punto, ninguno de nuestros límite de 6 discos puede contener el origen, y por lo tanto se necesita uno adicional.