Cómo integrar la $\int_C{\frac{\sin\pi z}{(z^2-1)^2}}dz$ donde $C: |z-1|=1$ el uso de la fórmula de Cauchy?

Question

¿Cómo se puede evaluar $$\int_C{\frac{\sin\pi z}{(z^2-1)^2}}dz$$, where $$C: |z-1|=1$$ mediante el uso de la fórmula de Cauchy.

Tengo que usar la fórmula de Cauchy. La fórmula de Cauchy $$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_L\frac{f(z)dz}{z-z_0}$$ requires me to have denominator in form of $(z-z_0)^n$. Estoy confundido acerca de cómo obtener el denominador para el ajuste de la fórmula.

Answer 1

Podemos usar el teorema de los Residuos. El único polo en el contorno de $\lvert z - 1\rvert = 1$$z_0 = 1$. El polo es de orden dos así que el residuo es $$ \text{Res}_{z_0=1} = \lim_{z\1}\frac{1}{(n - 1)!}\frac{d}{dz}(z-1)^2\frac{\sin(\pi z)}{(z^2-1)^2} = -\frac{\pi}{4} $$ Entonces $$ \cualquier\frac{\sin(\pi z)}{(z^2-1)^2}dz = 2\pi i\sum\text{Res} = -\frac{i\pi^2}{2} $$

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También podemos usar la forma general de la integral de Cauchy fórmula para determinar la integral. Como Daniel Fischer ha mostrado, podemos escribir la integral como $$ \cualquier\frac{1}{(z-1)^2}\frac{\sin(\pi z)}{(z+1)^2}dz. $$ Deje $f(z) = \frac{\sin(\pi z)}{(z+1)^2}$. La forma general de la integral de Cauchy fórmula es $$ f^{(n)} = \frac{n!}{2\pi i}\cualquier\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz. $$ El único polo en el contorno es $z_0 = 1$. Entonces $$ \cualquier\frac{f(z)}{(z-1)^2}dz = 2\pi si'(1) = 2\pi i\frac{-\pi}{4} = -\frac{i\pi^2}{2} $$

Answer 2

Si realmente se debe utilizar la fórmula de Cauchy como usted ha escrito en su pregunta, entonces usted puede definir $$ f(z)= \begin{cases} \frac{\sin \pi z}{(z+1)^2(z-1)} & z\neq 1\\ -\pi/4 & z=1. \end{casos} $$ La función de $f$ así definido es holomorphic en un barrio de el disco de $\{z\in\mathbb{C}~:~|z-1|<1\}$ (si no, por qué, por favor, pedir o buscar "extraíble singularidades"). Con la curva de $C:|z-1|=1$, se encuentra que $$ \int_C \frac{\sin \pi z}{(z^2-1)^2}\, dz = \int_C \frac{f(z)}{z-1}\, dz=2\pi i f(1)=-\frac{\pi^2}{2}. $$