Si ϵ se distribuye de forma homogénea, a continuación, un modelo de probabilidad lineal es la adecuada? Puedo encontrar alguna de la Literatura?

Question

Una variable latente modelo de participación de un binomio variable observada $Y$ puede construirse de tal manera que $Y$ está relacionado con la variable latente $Y^*$ a través de

$ Y = \begin{cases} 0, & \mbox{if }Y^*>0 \\ 1, & \mbox{if }Y^*<0. \end{casos} $

La variable latente $Y^*$ se relaciona con un conjunto de regresión de las variables de $X$ por el modelo $Y^* = X\beta + \varepsilon$. Esto se traduce en un modelo de regresión binomial.

La varianza de $\varepsilon$ no puede ser identificado y cuando no es de interés a menudo se supone que es igual a uno. Si $\varepsilon$ se distribuye normalmente, luego de un probit es el modelo adecuado y si $\varepsilon$ es log-Weibull distribuidos, entonces, un logit es la adecuada. Si $\varepsilon$ se distribuye de forma homogénea, a continuación, un modelo de probabilidad lineal es apropiado.

Answer 1

Vamos a tratar de validar la afirmación de que si el término de error de la base de variables latentes del modelo se supone uniformemente distribuida, a continuación, un modelo de Probabilidad Lineal es apropiado.

El subyacente de la variable latente del modelo es (suponiendo una regresión simple ajuste de la simplicidad, no cambia nada)

$$Y^* = b_0+ b_1X + \epsilon,\;\; \epsilon\mid X\sim U(-a,a)$$

donde los límites de $U$ se eligen de manera que el término de error tiene un cero el valor esperado condicional de los regresores. La función de distribución acumulativa aquí es $F_{\epsilon|X}(\epsilon\mid X) = \frac {\epsilon + a}{2a}$

y el observado modelo es (dado lo $Y$ es en la pregunta específica que se define como una función de la $Y^*$)

$$P(Y =1\mid X ) = P(Y^*<0\mid X) = P(b_0+ b_1X + \epsilon<0\mid X) = P(\epsilon <- b_0- b_1X\mid X)$$ $$=F_{\epsilon|X}(- b_0- b_1X\mid X) = \frac {- b_0- b_1X + a}{2a} = \frac {- b_0+a}{2a}+\frac {- b_1}{2a}X$$

$$\Rightarrow P(Y =1\mid X )= \beta_0 + \beta_1X$$

cual es el modelo de Probabilidad Lineal con la asignación de

$$\beta_0 = \frac {- b_0+a}{2a},\;\; \beta_1=\frac{- b_1}{2a}$$