Representación de cualquier $n \geq 4$ como una suma de 2's y 5's

Question

Utilizar la inducción en $n$ para demostrar que para todos los números enteros $n\geq 4$ franqueo de $n$ céntimos puede realizarse utilizando sólo $2$ centavo y $5$ sellos de céntimos.

Creo que es un poco diferente. ¿Cómo puedo utilizar la inducción para este tipo de problema?

Answer 1

Es trivial que $4$ y $5$ son alcanzables. Ahora todo ha terminado. A partir de esos dos, puede obtener cualquier franqueo mayor que desee añadiendo un número adecuado de $2$ sellos de céntimos.

Más formalmente, queremos demostrar que para cada $n \ge 2$ , ambos $2n$ y $2n+1$ son alcanzables. Como todo entero es par o impar, con eso bastará. Demostramos esto por inducción en $n$ . El resultado es cierto para el caso base $n=2$ .

Supongamos ahora que para un determinado $k\ge 2$ , ambos $2k$ y $2k+1$ son alcanzables. Queremos demostrar que $2(k+1)$ y $2(k+1)+1$ son alcanzables. Es fácil: añada un $2$ de céntimo.

Answer 2

El caso base es de 4 céntimos, que pueden realizarse utilizando dos sellos de 2 céntimos.

Supongamos ahora que podemos realizar $n$ centavos. Queremos demostrar que podemos realizar $n + 1$ centavos.

Consideremos dos casos: o bien se utiliza un sello de 5 céntimos en nuestra hipotética realización de $n$ céntimos o no.

Si lo hay, elimínelo y añada tres sellos de 2 céntimos. Ahora tenemos $n - 5 + 3 \cdot 2 = n+1$ una realización de $n+1$ centavos.

Si no lo hay, debe ser que sólo se utilizan sellos de 2 céntimos. M $n \geq 4$ se utilizan al menos dos sellos de 2 céntimos. Suprima dos de ellos y añada un único sello de 5 céntimos. Ahora tenemos $n - 2 \cdot 2 + 5 = n+1$ una realización de $n+1$ centavos.