Lineal mapa de $f:V\rightarrow V$ inyectiva $\Longleftrightarrow$ surjective

Question

Tal vez yo no soy bueno buscando las preguntas correctas pero no he visto esta tarea en cualquier lugar, así que espero es no duplicar.

Tengo que probar la siguiente declaración:

Deje $V$ ser finito dimensional espacio vectorial y $f:V \rightarrow V$ lineal en el mapa. Mostrar que $f$ es inyectiva $\Longleftrightarrow$ $f$ es surjective.

La siguiente ya es conocido:

$(i)$ $\ker f$ y $\def\Im{\operatorname{Im}}\Im f$ son subespacios lineales
$(ii)$ Existe un isomorfismo $V/\ker f\rightarrow \Im f$
$(iii)$ Si $U\subset V$ es un subespacio lineal, a continuación, $\dim V/U=\dim V-\dim U$
$(iv)$ $f$ es inyectiva $\Longleftrightarrow$ $\ker f=\{0\}$

Así que mi planteamiento es el siguiente:

$"\Longrightarrow "$
Deje $f:V\rightarrow V$ ser inyectiva. Entonces, debido a $(iv)$ $\dim\ker f=0$. Por lo tanto, debido a $(ii)$ y $(iii)$ $\dim V/\ker f=\dim V=\dim\Im f$. Desde $\dim V=\dim\Im f$ implica que $f$ es surjective.

$"\Longleftarrow "$
Deje $f$ ser surjective. A continuación,$\dim\Im f=\dim V$. Además, debido a $(ii)$$\dim\Im f=\dim V/\ker f$. Por lo tanto $\dim V=\dim V/\ker f=\dim V-\dim\ker f$. Esto significa que $\dim\ker f=0$ y, por tanto, $\ker f=\{0\}$ e lo $f:V\rightarrow V$ es inyectiva.

Para mí todo tiene sentido, pero tal vez me he perdido algo.

Gracias de antemano.

Answer 1

La prueba es correcta; personalmente me gusta verlo como un corolario de la clasificación teorema: $\mathrm{dim} \ V=\mathrm{dim \ Im} \ f+\mathrm{dim \ Ker} \ f$ (tratar de demostrarlo, es una generalización de su (iii); para el finito dimensionales caso es inmediata a partir de (ii) y (iii)), que en realidad tiene para los espacios vectoriales de dimensión arbitraria.