¿De cuántas maneras se pueden distribuir 30 bolas verdes a 4 personas?

Question

¿De cuántas maneras se pueden distribuir 30 bolas verdes entre 4 personas si Alicia y Eva juntas no consiguen más de 20 y Lucky consigue al menos 7?

La respuesta es: 2464 pero no estoy seguro de cómo conseguirlo?

Answer 1

Digamos que esto representa una distribución de bolas a 4 personas.

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Sólo tengo 15 bolas en esta foto, pero espero que entiendas el punto

Ahora piensa en esto no como bolas y personas sino como estrellas y barras.

hay 18 objetos en mi imagen (o 33 en tu problema) 3 de los cuales son barras.

El número total de formas de poner $n$ objetos en $m$ bins, entonces es ${n-1\choose m-1}$

Ahora tenemos algunos criterios adicionales. Alice y Eve no obtienen más de 20. Y lucky obtiene al menos 7.

Vamos a darle un 7 a Lucky. Y entonces podemos eliminarlos de la consideración... eso deja 23 bolas para distribuir.

${26\choose 3}=2600$

Y luego tenemos que eliminar los casos en los que Alicia y Eva obtienen más de 20.

Supongamos que damos a Alicia y Eva 20. Lucky consigue al menos 7, es decir, 27 de 30 bolas. Hay casos. 21 bolas a A+E, 22 bolas a A+E, 23 bolas a A+E.

${22\choose 1}\cdot{3\choose 1} + {23\choose 1}\cdot{2\choose 1} + {24\choose 1}\cdot{1\choose 1} = 136$

$2600-136=2464$

Answer 2

Si estás familiarizado con las estrellas y las barras, puedes hacerlo así, aunque seguro que hay una forma más eficiente. Primero, dale a Lucky $7$ bolas, dejando $23$ para distribuir a los $4$ personas. Hay $2600$ formas de hacerlo.

Pero como Alicia y Eva sólo pueden tener un máximo de $20$ , eso significa que si las otras dos personas consiguen $2$ o menos, esa distribución es ilegal.

Hay seis maneras de que eso ocurra. Los balones se pueden distribuir a ellos 2-0, 1-1, 0-2, 1-0, 0-1, 0-0. Esos casos dejan, respectivamente 21, 21, 21, 22, 22, 23 bolas para Alice y Eve. Y entonces, respectivamente, esas bolas para Alice y Eve pueden ser distribuidas de 22, 22, 22, 23, 23, 24 maneras.

Reste esas distribuciones ilegales de $2600$ para conseguir $2464$ .

Answer 3

Saca siete para dárselos a Lucky. Ahora tienes $23$ para distribuir sin condición en Lucky, pero la restricción de Adán y Eva está viva.

Nota: si A y E obtienen $n$ entre ellos, entonces estamos distribuyendo $n$ a ellos ( $n+1$ formas de hacerlo) y $23-n$ a L & X, $24-n$ formas de hacerlo. De ahí que la respuesta sea $$\sum_{n=0}^{20} (n+1)\times(24-n) = \fbox {2464}$$

Answer 4

Como dijo lulu, esto es lo mismo que distribuir $23$ bolas entre $4$ personas con las mismas condiciones, ya que se puede dar a Lucky $7$ antes de distribuirlo. Si está familiarizado con los problemas de las estrellas y las barras (suponiendo que la gente pueda obtener bolas cero), hay $26\choose 3$ formas, o $2600$ para distribuir $23$ bolas entre $4$ personas.

Sin embargo, queremos asegurarnos de que Alicia y Eva no reciban más que $20$ total. Luego cuenten de cuántas maneras pueden obtener más de $20$ y luego restar eso. Como pista, si obtienen más de $20$ bolas, ¿cuántas pueden tener? Debería haber $3$ casos. Para cada caso, cuenta el número de formas de distribuir esas bolas entre Alicia y Eva y multiplícalo por el número de formas de distribuir las bolas restantes entre Lucky y nuestro amigo sin nombre. Luego resta eso de $2600$ para cada caso, y obtendrá su respuesta.