¿Cómo encontrar el dominio de una función tal que sea todos los números positivos?

Question

Llevo un tiempo trabajando en este problema y siento que no lo estoy entendiendo:

Encuentra todos los números a tales que el dominio de la función:

$$f(x)= {1\over\sqrt{1+2ax-x^2}}$$

Contiene todos los números positivos.

Hasta ahora he intentado utilizar la fórmula cuadrática para encontrar dónde la función es negativa y dónde es positiva, pero sin una constante establecida para "a" no he podido conseguirlo. Si alguien puede guiarme a través de esto sería muy apreciado.

Answer 1

$1+2ax-x^2 = (1 + a^2)-(x - a)^2$ .

Así que $1+2ax-x^2 = -1$ cuando $x = \sqrt{a^2 + 2} + a$

$\sqrt{a^2 + 2} + a$ es un número positivo para todos los $a$ .

Por lo tanto, $x = \sqrt{a^2 + 2} + a > 0$ nunca estará en el dominio de $f$ .

Answer 2

Esta función está definida si y sólo si $-x^{2}+2x+1>0$ o de forma equivalente, $x^{2}-2x-1<0$ . El discriminante es $2^{2}-4(-1)=8$ por lo que tiene dos raíces reales distintas $x_{1}<x_{2}$ que se determina mediante la fórmula uadrtica. f se define en $]x_{1},x_{2}[$ .

Answer 3

Bueno, el numerador es obviamente siempre positivo, así que para que todo sea positivo sólo necesitamos que el denominador sea positivo: $$\sqrt{1+2x-x^2} > 0$$

$$1+2x-x^2 > 0$$

A partir de aquí sólo hay que utilizar la fórmula cuadrática y averiguar cuándo el $function = 0$ y entonces puedes averiguar cuando es mayor que $0$ de la $0$ s

También Cálculo no es una buena etiqueta para esta pregunta