En Continuo De Las Funciones De Replicación

Question

Knuth, en el Arte de La Programación de computadoras Vol. 1, define un replicativa de la función como una función de $f$ tal que $$f(x)+f\left(x+\frac{1}{n}\right)+\cdots +f\left(x+\frac{n-1}{n}\right)=f(nx)$$ whenever $n\in\mathbf{Z}^{+}$. For $f(x)=\lfloor x\rfloor$, esto no es nada, pero Hermite de la identidad. Knuth da un par de ejemplos de las funciones de replicación, incluyendo las siguientes.

• $f(x)=x-\frac{1}{2}$
• $f(x)=\begin{cases}1 && \text{if }x\in\mathbf{Z} \\ 0 && \text{otherwise}\end{cases}$
• $f(x)=\begin{cases}1 && \text{if }x\in\mathbf{Z}^{+} \\ 0 && \text{otherwise}\end{cases}$
• $f(x) = 1$ si existe $r\in\mathbf{Q}$ $m\in\mathbf{Z}$ tal que $x=r\pi+m$, $f(x) = 0$ de lo contrario.
• Las otras tres funciones como el anterior y con $r$ y/o $m$ restringida a valores positivos.
• $f(x) = \log|2\sin(\pi x)|$, si el valor de $f(x)=-\infty$ es permitido.
• la suma de cualquiera de las dos funciones de replicación.
• Una constante en varias de las funciones de replicación.
• La función de $g(x)=f(x-\lfloor x\rfloor)$ donde $f$ es replicativa.

Knuth, a continuación, se propone estudiar la clase de continuo las funciones de replicación (el único en la lista de arriba es $f(x)=x-\frac{1}{2}$). Sin embargo, como lo que puedo ver, parece ser que hay una escasez de literatura sobre este tema; la única pieza que me doy cuenta de que está aquí, pero no es de libre acceso.

Knuth también se propone estudiar la clase más general de las funciones que $$f(x)+f\left(x+\frac{1}{n}\right)+\cdots +f\left(x+\frac{n-1}{n}\right)=a_nf(nx)+b_n,$$ where $a_n$ and $b_n$ depend on $n$ but not $x$.

Es alguien consciente de más información sobre este tema? Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Los polinomios de Bernoulli (el primero de los cuales es Knuth el ejemplo de $f(x) = x-1/2$) adaptarse a la identidad:

$$B_n(mx) = m^{n-1}\sum_{k=0}^{m-1}B_n(x+k/m)$$

Esta identidad es generalmente interpretado en el sentido de que los polinomios de Bernoulli forma de una distribución en el grupo aditivo $\widehat{\mathbf Z}$ de profinite enteros. Estas distribuciones juegan un papel importante en la teoría de números. La distribución de Bernoulli, en cierto sentido, es un avatar de la de Riemann zeta función.

Otro buen ejemplo es la distribución Gamma derivados de la multiplicación de Gauss fórmula:

$$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{k}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{k}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{k-1}{k}\right) = (2 \pi)^{ \frac{k-1}{2}} \; k^{1/2 - kz} \; \Gamma(kz) \,\!$$

Si quieres echar un vistazo en esta dirección, se puede encontrar algo de información en Lang, el libro de cyclotomic campos (donde se da un número de otros ejemplos de distribuciones). Tal vez usted puede salvar algo de las secciones pertinentes.

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