Encontrar una matriz dado su polinomio característico

Question

Se me pide que encuentre un $2 \times 2$ matriz con entradas reales y enteras dado su polinomio característico:

$$p^2 -5p +1.$$

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Igualé el polinomio a cero, y las raíces (valores propios) resultaron ser $2.5 \pm \sqrt{21}/2$

Nombré la matriz a resolver $C$ ,

así que $\det(C) =$ producto de los valores propios $= 1$

$\text{trace}(C) =$ suma de valores propios $=5$

Luego traté de encontrar C resolviendo $T^{-1} \times D \times T$ , donde $D$ es una matriz cuyas entradas diagonales son los valores propios resueltos anteriormente, y $T$ es cualquier matriz cuyo determinante es distinto de cero.

Utilicé $T$ como $2 \times 2$ ser

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

He resuelto $T^{-1} \times D \times T$ y lo metí en una calculadora para asegurarme de que no cometía errores algebraicos, pero la respuesta que recibí es incorrecta.

Agradezco cualquier ayuda, gracias.

Answer 1

Empecemos por ver el polinomio característico de la $2 \times 2$ matriz

$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -a & -b \end{bmatrix}: \tag 1$

$\det (A - \lambda I) = \det \left (\begin{bmatrix} -\lambda & 1 \\ -a & -b - \lambda \end{bmatrix} \right ) = \lambda^2 + b\lambda + a; \tag 2$

vemos en (2) que siempre podemos presentar un $2 \times 2$ matriz con un polinomio característico dado $\lambda^2 + b\lambda + a$ en la forma $A$ por ejemplo, si la cuadrática es $\lambda^2 + 5\lambda + 1$ como en el presente problema (aunque he sustituido $p$ con $\lambda$ ), podemos tomar

$P = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -5 \end{bmatrix}, \tag 3$

que se puede comprobar fácilmente:

$\det(P - \lambda I) = -\lambda(-5 - \lambda) - 1 ( -1) = \lambda^2 + 5\lambda + 1. \tag 4$

Las matrices $A$ y $P$ anteriores forman parte de un paradigma general para construir matrices con un polinomio característico dado, y se extiende a dimensiones superiores. Ahora bien, hay muchísimas matrices que poseen un polinomio característico dado, ya que es un invariante de similitud; es decir, los polinomios característicos de $X$ y $S^{-1}XS$ son siempre los mismos; por lo tanto, nos corresponde encontrar una matriz de forma particularmente simple y general para un polinomio dado. Si

$q(\lambda) = \displaystyle \sum_1^n q_i \lambda^i, \; q_n = 1, \tag5$

definimos $C(q(\lambda))$ para ser el $n \times n$ matriz

$C(q(\lambda)) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots & \vdots \\ -q_0 & -q_1 & -q_2 & \ldots & -q_{n - 1} \end{bmatrix}; \tag 6$

es decir, $C(q(\lambda))$ tiene todo $1$ s en la superdiagonal, los negativos de los coeficientes de $q(\lambda)$ en el $n$ -a la fila, y $0$ s en todas partes. Tenemos

$C(q(\lambda) - \lambda I = \begin{bmatrix} -\lambda & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots & \vdots \\ -q_0 & -q_1 & -q_2 & \ldots & -q_{n - 1} - \lambda \end{bmatrix}; \tag 7$

es fácil de ver, ampliando en menores a lo largo de la $n$ -de la fila, que

$\det(C(q(\lambda)) - \lambda I) = q(\lambda); \tag 8$

Además, como una matriz y su transpuesta tienen determinantes iguales, la forma transpuesta $C(q(\lambda))$ , $C^T(q(\lambda))$ también da lugar al mismo polinomio característico. Las matrices $C(q(\lambda))$ y $C^T(q(\lambda))$ se conocen como matrices de acompañamiento para el polinomio $q(\lambda)$ El artículo enlazado contiene más información sobre la historia.

Answer 2

Su elección de $T$ no se llevarán a cabo entradas enteras.

Guía:

Dejemos que $C=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ .

Necesitamos $a+d=5$ y $ad-bc=1$

Puede dejar que $a=0$ Entonces terminamos teniendo $-bc=1$ . ¿Puede elegir algunos valores posibles de $b$ y $c$ para que satisfaga la ecuación?