Tuplas con todas las coordenadas que suman a$3$

Question

Algunos $4$-tuplas de números reales positivos $(a_1,b_1,c_1,d_1),\dots,(a_n,b_n,c_n,d_n)$ reciben, con $$\sum_{i=1}^na_i=\sum_{i=1}^nb_i=\sum_{i=1}^nc_i=\sum_{i=1}^nd_i=3.$$ It is known that there exists a partition of $N=\{1,\dots,n\}$ into three sets $N_1,N_2,N_3$ such that $$\sum_{N_1}a_i=\sum_{N_2}a_i=\sum_{N_3}a_i=1.$$ Analogous statements hold for $b,c,d$. Is it always possible to partition $N$ into two sets $X,$ Y para que $$\sum_X a_i,\sum_Y b_i,\sum_Y c_i,\sum_Y d_i\geq 1?$$

Sin la condición dada, ciertamente, esto no es cierto, por ejemplo, $n=1$ y la única tupla es $(3,3,3,3)$. He pensado en poner elementos de $N$ a $X$ e $Y$ uno por uno, empezando con uno con el mayor $a_i$, entonces el más alto $b_i$, la más alta $c_i$, y así sucesivamente, pero que no puede dar más de $3/4$ en la desigualdad.

Answer 1

Voy a usar un poco diferente de la notación de la toma en consideración de Ross Millikan comentario.

Hay 4 particiones de $N=\{1\dots n\}$ en tres conjuntos de $\{A_1,A_2,A_3\}$, $\{B_1,B_2,B_3\}$, $\{C_1,C_2,C_3\}$, $\{D_1,D_2,D_3\}$ tales que \begin{align} \sum_{A_1} a_i =\sum_{A_2} a_i =\sum_{A_3} a_i =1\\ \sum_{B_1} b_i =\sum_{B_2} b_i =\sum_{B_3} b_i =1\\ \sum_{C_1} c_i =\sum_{C_2} c_i =\sum_{C_3} c_i =1\\ \sum_{D_1} d_i =\sum_{D_2} d_i =\sum_{D_3} d_i =1 \end{align}

Si hay un conjunto $A_k$ tales que $$ \sum_{A_k} b_i \le 2\qquad\sum_{A_k} c_i\le 2\qquad\sum_{A_k} d_i \le 2 $$ a continuación, $X=A_k$ e $Y={A_k}^C$, desde el $\sum_{A_k}a_i=1$y $$ \sum_{{A_k}^C} b_i \ge 1\qquad\sum_{{A_k}^C} c_i\ge 1\qquad\sum_{{A_k}^C} d_i \ge 1 $$

De lo contrario, si no $A_k$ existe, podemos suponer sin pérdida de generalidad \begin{align} \sum_{A_1} b_i &> 2 &\sum_{A_2} c_i &> 2 &\sum_{A_3} d_i &> 2\\ \sum_{A_2\cup A_3} b_i &< 1 &\sum_{A_1\cup A_3} c_i &< 1 &\sum_{A_1\cup A_2} d_i &< 1 \end{align}

Ahora consideremos $B_1\cap A_1$, $B_2\cap A_1$ e $B_3\cap A_1$. Hay al menos un conjunto $B_j$ tales que $$ \sum_{B_j\cap A_1} a_i \ge\frac{1}{3}\qquad \sum_{B_j\cap A_1} b_i \le 1 $$ el último que es verdadero para todos los $B_j$ desde $\sum_{B_j\cap A_1} b_i \le \sum_{B_j} b_i$.

Del mismo modo, existen $C_k$ e $D_l$ tales que \begin{align} \sum_{C_k\cap A_2} a_i &\ge\frac{1}{3} &\sum_{C_k\cap A_2} c_i &\le 1\\ \sum_{D_l\cap A_3} a_i &\ge\frac{1}{3} &\sum_{D_l\cap A_3} d_i &\le 1 \end{align}

Ahora tome $X=(B_j\cap A_1)\cup(C_k\cap A_2)\cup(D_l\cap A_3)$, aviso que es la unión de 3 conjuntos y disjuntos \begin{align} \sum_X a_i &= \sum_{B_j\cap A_1} a_i + \sum_{C_k\cap A_2} a_i + \sum_{D_l\cap A_3} a_i \ge \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\\ \sum_X b_i &= \sum_{B_j\cap A_1} b_i + \sum_{C_k\cap A_2} b_i + \sum_{D_l\cap A_3} b_i \le 1 + \sum_{A_2\cup A_3} b_i < 2\\ \sum_X c_i &= \sum_{B_j\cap A_1} c_i + \sum_{C_k\cap A_2} c_i + \sum_{D_l\cap A_3} c_i \le 1 + \sum_{A_1\cup A_3} c_i < 2\\ \sum_X d_i &= \sum_{B_j\cap A_1} d_i + \sum_{C_k\cap A_2} d_i + \sum_{D_l\cap A_3} d_i \le 1 + \sum_{A_1\cup A_2} d_i < 2\\ \end{align}

Así que, sí, siempre es posible partición de $N$ a $X$ e $Y$ como usted lo pidió.