¿Prueba de la chainrule: es correcto esta prueba y lo utilizo la notación correcta?

Question

He creado esta prueba de la chainrule. Siendo un (relativo) de principiante en matemáticas tengo un par de preguntas.

1. Es la prueba por debajo de la correcta? Estaba en duda sobre el uso de $h$ en ambos lados.
2. Es el (Langrange?) la notación correcta de esta manera?
3. Cómo escribir la misma prueba utilizando la notación de Leibniz? He luchado escritura de esta prueba en la notación de Leibniz, porque lo que haría en ese caso ser el significado de la $dg$? Es $g(x+h)-g(x)$ o $k$ o $h$?

Para ser probado:

Si $f(u)$ es diferenciable en a$u=g(x)$, e $g(x)$ es diferenciable en a$x$ luego:

$$f(g(x))'\stackrel{?}{=}f'(g(x))g'(x)$$ O, de manera similar $$\lim \limits_{h \to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\stackrel{?}{=}\lim \limits_{k \to 0}\frac{f(g(x)+k)-f(g(x))}{k}\lim \limits_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$

Caso 1: si $h$ tiene un valor tal que $g(x+h)=g(x)$ luego: $$\lim \limits_{h \to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}=0$$ Y $$\lim \limits_{k \to 0}\frac{f(g(x)+k)-f(g(x))}{k}\lim \limits_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=0$$

Ambos lados de la ecuación para demostrar la igualdad a cero, por lo tanto, la ecuación tiene en este caso.

Caso 2: si $h$ tiene un valor tal que $g(x+h)\ne g(x)$ luego:

Multiplicamos el eje izquierdo por $\frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)}$ $$\lim \limits_{h \to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}=\lim \limits_{h \to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\lim \limits_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$ Tomando $$u=g(x)$$ $$k=g(x+h)-g(x)$$ Tenemos $$\lim \limits_{h \to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}=\lim \limits_{h \to 0}\frac{f(u+k)-f(u)}{k}\lim \limits_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$ Y como $h\to 0, k\to 0$, por lo tanto $$\lim \limits_{h \to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}=\lim \limits_{k \to 0}\frac{f(u+k)-f(u)}{k}\lim \limits_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$ Así $$f(g(x))'=f'(u)g'(x)=f'(g(x))g'(x) \tag*{$\blacksquare$}$$

Answer 1

Su caso 1 es irreparablemente dañada.$ \def\lfrac#1#2{{\large\frac{#1}{#2}}} $ En ese caso, usted afirma que si $g(x+h)=g(x)$ para algunos $h$ entonces $\lim_{h\to0} \lfrac{f(g(x+h))−f(g(x))}{h} = 0$. Que es falso. Por ejemplo supongamos $f$ ser la identidad de la función, y $g = \sin$ e $x = 0$ e $h = π$. A continuación, $g(x+h) = g(x)$ pero $\lim_{h\to0} \lfrac{f(g(x+h))−f(g(x))}{h}$ $= \lim_{h\to0} \lfrac{\sin(h)-\sin(0)}{h} = 1$, contradiciendo su reclamo.

Su caso 2 también está completamente roto por la misma razón lógica, porque incluso si $g(x+h) \ne g(x)$ para algunos $h$ no significa que $\lim_{h\to0} \lfrac{f(g(x+h))−f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}$ existe, por lo que su primera línea en caso de que ya está mal. Por ejemplo supongamos $f$ ser la identidad de la función de nuevo, y $g(t) = |t-1|+|t+1|$ para cada una de las $t$, e $x = 0$. A continuación, $g(2) \ne g(0)$ pero $\lim_{h\to0} \lfrac{f(g(x+h))−f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}$ no existe porque el $g(x+h)-g(x) = 0$ por cada $h \in [-1,1]$. Tenga en cuenta que $g'(0) = 0$ e $f'(2) = 1$, y la cadena regla se mantiene, pero el límite que usted ha escrito no existe.

Answer 2

Esta respuesta va a intentar elaborar más sobre el problema que Medo señaló en los comentarios:

Corregir algunos de valor de $x$ y considerar los conjuntos de $$ H=\{h\mid\ g(x+h)= g(x)\} \\ H^c=\{h\mid\ g(x+h)\neq g(x)\} $$ Aquí $H$ corresponde al caso 1, y $H^c$ corresponde a su caso 2.

• El conjunto puede ser infinito (contables o incontables) o vacío y $H$ también puede ser finito.
• Así, en primer lugar, no hay ninguna garantía de que $h=0$ es un punto límite de ambos conjuntos significado $h\to 0$ puede que incluso no tienen sentido dentro de ambos conjuntos. En ese caso uno puede discutir simplemente utilizando el conjunto en el que $h=0$ es de hecho un punto límite, y todo debería estar bien.
• En segundo lugar, si $h=0$ es un punto límite de ambos $H$ e $H^c$ , de modo que $h\to 0$ hace sentidos por tanto, necesitamos un argumento extra para asegurarse de que los dos límites son iguales. Aquí es donde algunos de los trabajo que queda por hacer.

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La forma en que se han desarrollado para tratar con el problema de los usos más Leibniziana enfoque, es decir, definir: $$ \frac{\Delta f(g)}{\Delta x} = \begin{cases} 0 & \text{for }\Delta g=0 \\ \quad\\ \frac{\Delta f}{\Delta g}\cdot\frac{\Delta g}{\Delta x} & \text{for }\Delta g\neq 0 \end{casos} $$ donde $\Delta g$ e $\Delta f$ denotar la corrsponding cambios de $g(x)$ e $f(g(x))$ cuando $x$ es cambiado por $\Delta x$. Esto puede ser demostrado ser continua y siempre igual $$ \frac{f(g+\Delta g)-f(g)}{\Delta x} $$ y por lo que proporciona una continua alternativa a la problemática fatorization por "llenar" la falta de valores al $\Delta g=0$.

Answer 3

La razón principal de que esto no está escrito así es que está manipulando los límites. Esto es muy difícil de leer porque no es no trivial de la demanda integrada en cada uso de "$\lim$".

A menos que usted haya verificado por separado, el hecho de que la función de $f \circ g$ es diferenciable en a$x$ es realmente parte de la conclusión, por lo que si empiezas con este límite en el lado izquierdo y, a continuación, manipular que la expresión, en mi libro, usted ha cometido un imperdonable análisis pecado inmediatamente.

Si solo estás haciendo álgebra, a continuación, sólo tiene que escribir el álgebra sin $\lim$ frente a todo.

Si usted está tomando un límite, justificar que existe primero, y luego tomar el límite.

Answer 4

(Nota: la prueba ha sido editado para el comentario de abajo ya no se aplica.)

En el caso 1, usted está asumiendo que $g(x+h) = g(x)$ para todos los números reales $h$. En el caso 2, usted está asumiendo que $g(x+h) \neq g(x)$ para todos los números reales distintos de cero $h$. Sin embargo, hay un tercer caso de que no haya cubierto, que en el caso de las $g(x+h)=g(x)$ para algunos, pero no todos los números reales distintos de cero $h$.

Por cierto, el de los supuestos planteados en cada caso, se podría haber dicho de forma más clara mediante la inserción de frases tales como "para todos los números reales $h$". Usted podría también utilizar frases como "si $h$ es un número real distinto de cero, a continuación, $g(x+h) \neq g(x)$."

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Seguimiento comentario: La prueba ha sido revisado para decir:

si $h$ tiene un valor tal que $g(x+h)=g(x)$ luego: $$\etiqueta{1}\lim \limits_{h \to 0}\frac{f(g(x+h)-f(g(x))}{h}=0$$

Pero, ¿cómo la ecuación (1) se sigue del hecho de que hay un valor de $h$ tal que $g(x + h) = g(x)$? Que es un non-sequitur.

La ecuación (1) sería obviamente cierto si $g(x + h) = g(x)$ para todos los números reales $h$. Pero el caso 1 (como está escrito en la actualidad) asume que existe un valor de $h$ tal que $g(x + h) = g(x)$.

Answer 5

Una manera fácil de evitar el problema con el caso de $g'(p)=0$ es para perturbar $g$ mediante una función lineal: podemos evaluar la derivada $$ \frac{d}{dx}f(g(x)+\epsilon x)\Big|_{x=p} $$ el uso de la "Leibniz manera" desde $g'(p)+\epsilon\neq 0$. Por lo tanto, $$ \frac{d}{dx}f(g(x)+\epsilon x)\Big|_{x=p}=f'(g(p)+\epsilon p)(0+\epsilon). $$ El lado izquierdo depende continuamente en $\epsilon$, por lo tanto, dejar $\epsilon\to 0$da $$ \frac{d}{dx}f(g(x))\Big|_{x=p}=0=f'(g(p))g'(p). $$