Semigrupo conmutativo

Question

Dejemos que $S$ sea un semigrupo con las dos propiedades siguientes, $(1):$ para todos $x$ en $S$ tenemos $x^3=x$ $(2):$ para cualquier $x,y$ en $S$ tenemos $xy^2x=yx^2y$ . Entonces demuestre que este semigrupo $S$ es conmutativo.

He encontrado las siguientes identidades para cualquier $x,y$ en $S$

• $(xy)^3=xy=x^3y^3$

• $xy^2x=y^2(xy^2x)$

• $(xy)^2=y(xy)^2y$

• $xy^2x^2x=yx^2yx^2$

Answer 1

$$yxy=yxyyxyyxy=yxy^2xy^2xy=yyx^2yy^2xy=y^2x^2yxy=$$ $$=yxy^2xxy=yxy^2x^2y=yxyxy^2x,$$ que da $$yxy^2=yxyxy^2xy.$$ En otra mano, $$xyxy=xyy^2xy=y(xy)^2y=yxyxy^2,$$ que da $$xy=(xy)^3=yxyxy^2xy.$$ Así, $$xy=yxy^2$$ y también, $$yx=xyx^2$$ o $$xy^2=yxy$$ y $$yx^2=xyx.$$ Ahora, $$x^2yx^2y=x^2yy^2x^2y=y(x^2y)^2y=yx^2yx^2yy=yx^2yx^2y^2.$$ Así, $$x^2y=(x^2y)^3=yx^2yx^2y^2x^2y=xy^2xx^2y^2x^2y=$$ $$=xy^2xy^2x^2y=yx^2y^3x^2y=yx^2yx^2y,$$ Lo que da $$xy=x(x^2y)=(xyx^2)(yx^2y)=(yx)(xy^2x)=yx^2y^2x=x^2yx.$$ Id est, $$x^2y=xyx=yx^2$$ y $$xy=x(x^2y)=xyx^2=yx.$$

Answer 2

Supongamos que $S$ es un semigrupo tal que \begin{align*} x^3&=x,\;\text{for all}\;x\in S\tag{1}\\[4pt] xy^2x&=yx^2y,\;\text{for all}\;x,y\in S\tag{2}\\[4pt] \end{align*} Nuestro objetivo es mostrar $xy=yx$ para todos $x,y\in S$ .

Podemos refundir $(2)$ como $$(xy)(yx)=(yx)(xy),\;\text{for all}\;x,y\in S\tag{3}$$ así que $xy$ se desplaza con $yx$ para todos $x,y\in S$ .

A continuación, trabajar en $y^2x^2y^2$ obtenemos \begin{align*} y^2x^2y^2&=(y^2x)(xy^2)\\[4pt] &=(xy^2)(y^2x)&&\text{[by $(3)$]}\\[4pt] &=xy^4x\\[4pt] &=xy^2x&&\text{[by $(1)$]}\\[4pt] \end{align*} Así, tenemos $$y^2x^2y^2=xy^2x,\;\text{for all}\;x,y\in S\tag{4}$$ A continuación, trabajar en $x^2y^2$ obtenemos \begin{align*} x^2y^2&=(x^2y^2)^3\\[4pt] &=(x^2y^2)(x^2y^2)(x^2y^2)\\[4pt] &=x^2(y^2x^2y^2)x^2y^2\\[4pt] &=x^2(xy^2x)x^2y^2&&\text{[by $(4)$]}\\[4pt] &=x^3y^2x^3y^2\\[4pt] &=xy^2xy^2&&\text{[by $(1)$]}\\[4pt] &=(xy^2x)y^2\\[4pt] &=(yx^2y)y^2&&\text{[by $(2)$]}\\[4pt] &=yx^2y^3\\[4pt] &=yx^2y&&\text{[by $(1)$]}\\[4pt] &=xy^2x&&\text{[by $(2)$]}\\[4pt] \end{align*} Así, tenemos $$x^2y^2=yx^2y=xy^2x,\;\text{for all}\;x,y\in S$$ por lo tanto, por simetría, obtenemos $$x^2y^2=y^2x^2,\;\text{for all}\;x,y\in S\tag{5}$$ así que $x^2$ se desplaza con $y^2$ para todos $x,y\in S$ .

A continuación, trabajar en $x^2y$ obtenemos \begin{align*} x^2y&=(x^2y)^3&&\text{[by $(1)$]}\\[4pt] &=x^2(yx^2y)x^2y\\[4pt] &=x^2(xy^2x)x^2y&&\text{[by $(2)$]}\\[4pt] &=x^3y^2x^3y\\[4pt] &=xy^2xy&&\text{[by $(1)$]}\\[4pt] &=(xy^2x)y\\[4pt] &=(yx^2y)y&&\text{[by $(2)$]}\\[4pt] &=y(x^2y^2)\\[4pt] &=y(y^2x^2)&&\text{[by $(5)$]}\\[4pt] &=y^3x^2\\[4pt] &=yx^2&&\text{[by $(1)$]}\\[4pt] \end{align*}

Así, tenemos $$x^2y=yx^2,\;\text{for all}\;x,y\in S\tag{6}$$ así que las plazas viajan con todo.

Por último, trabajar en $xy$ obtenemos \begin{align*} xy&=(xy)^3&&\text{[by $(1)$]}\\[4pt] &=x(yx)^2y\\[4pt] &=(yx)^2xy&&\text{[by $(6)$]}\\[4pt] &=yx(yx^2y)\\[4pt] &=yx(xy^2x)&&\text{[by $(2)$]}\\[4pt] &=yx^2y^2x\\[4pt] &=y(x^2y^2)x\\[4pt] &=y(y^2x^2)x&&\text{[by $(5)$]}\\[4pt] &=y^3x^3\\[4pt] &=yx&&\text{[by $(1)$]}\\[4pt] \end{align*} Así, tenemos $$xy=yx,\;\text{for all}\;x,y\in S$$ como se iba a demostrar.